什么是指数？
在 aⁿ 中，a 叫底数，n 叫指数。它表示 a 自乘 n 次。
例如：5³ = 5 × 5 × 5 = 125。读作“5 的 3 次方”或“5 的立方”。
注意符号：(−3)² = 9，但 −3² = −9，因为没有括号时，指数只属于 3。
主要法则（底数相同）
- 同底数幂相乘：aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ（把所有因数数在一起）。
- 同底数幂相除：aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ，a ≠ 0（相同的因数约掉）。
- 幂的乘方：(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ（n 组，每组 m 个因数）。
- 积的乘方：(ab)ⁿ = aⁿbⁿ。
- 商的乘方：(a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ，b ≠ 0。
这些法则只在底数相同时才能用（最后两条是指数相同）。2³ × 3² 不能合并成一个幂。
零指数和负整数指数
对 a⁵ ÷ a⁵ 用除法法则。结果一定是 1（任何数除以自己），而法则给出 a⁰。所以当 a ≠ 0 时，a⁰ = 1。
再看 a² ÷ a⁵ = a⁻³，但约分后得 1/a³。所以 a⁻ⁿ = 1/aⁿ。负指数不会让数变成负数：2⁻³ = 1/8。
小技巧：(a/b)⁻ⁿ = (b/a)ⁿ。把分数倒过来，指数变成正的。
科学记数法就用到它：0.00045 = 4.5 × 10⁻⁴。
分数指数和实数指数
(a^(1/2))² = a^1 = a，所以 a^(1/2) 必须是 √a。一般地，当 a > 0 时，a^(1/n) = ⁿ√a，a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ。
例如：8^(2/3) = (∛8)² = 2² = 4。先开根号，数字会小一些。
所有法则对分数指数仍然成立。对于 2^√2 这样的无理数指数，我们用 2^1.4、2^1.41、2^1.414…… 不断逼近，所以（底数为正时）法则可以推广到所有实数指数。
简单的指数方程
如果同底数的两个幂相等，那么它们的指数也相等：若 aˣ = aʸ（a > 0，a ≠ 1），则 x = y。
例：3ˣ⁺¹ = 81 = 3⁴，所以 x + 1 = 4，x = 3。
例：4ˣ = 32。把两边都写成 2 的幂：2²ˣ = 2⁵，所以 2x = 5，x = 2.5。
生活中的例子：细菌每小时增加一倍，N = 100 × 2ᵗ。什么时候 N = 3200？2ᵗ = 32 = 2⁵，所以 t = 5 小时。
重点公式和概念
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ
- (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
- (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
- a⁰ = 1 (a ≠ 0)
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ
- a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ
例题讲解
1. 化简 3⁴ × 3²。
底数相同，相乘指数相加：3⁴⁺² = 3⁶ = 729。
2. 化简 7⁸ ÷ 7⁵。
底数相同，相除指数相减：7⁸⁻⁵ = 7³ = 343。
3. 求 (2³)² × 2⁻⁴ 的值。
(2³)² = 2⁶。再算 2⁶ × 2⁻⁴ = 2² = 4。
4. 求 (2/5)⁻² 的值。
把分数倒过来，指数变正：(5/2)² = 25/4 = 6.25。
5. 求 27^(2/3) + 16^(−1/2) 的值。
27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9。16^(−1/2) = 1/√16 = 1/4。合计 = 9.25。
6. 化简 (x³y⁻²)² ÷ (x²y)⁻¹，结果用正指数表示。
(x³y⁻²)² = x⁶y⁻⁴。除以 (x²y)⁻¹ 就是乘 x²y。所以得 x⁸y⁻³ = x⁸/y³。
7. 解方程 2ˣ × 4 = 128。
4 = 2²，128 = 2⁷。所以 2ˣ⁺² = 2⁷，x + 2 = 7，x = 5。
常见错误
- 相乘时把指数也相乘：2³ × 2² 等于 2⁵，不是 2⁶。
- 把底数相乘：3² × 3⁴ 等于 3⁶，不是 9⁶。
- 以为负指数会让结果变负：5⁻² = 1/25，是正数。
- 以为 a⁰ = 0：任何不为零的数的 0 次方都等于 1。