什么是条件概率？
有时在猜结果之前，我们会先得到一点额外的消息。这个消息就是事件 B，它已经发生了。这样一来，B 之外的所有结果都不可能了，B 就成了新的样本空间（所有可能结果的集合）。
在 B 已发生的条件下，A 发生的概率写作 P(A|B)。竖线“|”读作“在……条件下”。
P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B)，其中 P(B) ≠ 0。
如果各个结果等可能，直接数个数就行：P(A|B) = n(A ∩ B) ÷ n(B)。
条件概率的性质
- 0 ≤ P(A|B) ≤ 1，和所有概率一样。
- P(S|B) = P(B|B) = 1：在新的世界里，B 是必然发生的。
- P(A′|B) = 1 − P(A|B)（A′ 表示“非 A”）。
- 对任意 A 和 C：P(A ∪ C | B) = P(A|B) + P(C|B) − P(A ∩ C | B)。
- P(A|B) 和 P(B|A) 通常不相等，因为分数的分母不一样。
概率的乘法公式
把定义式两边都乘以 P(B)，就得到乘法公式：
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) = P(A) · P(B|A)
当事情一件接一件发生时就用它，比如抽两张牌，抽出第一张后不放回。结果等于第一次的概率，乘以在第一次发生的条件下第二次的概率。
三个事件时：P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B|A) · P(C|A ∩ B)。
相互独立事件
如果知道其中一个事件，对另一个事件毫无影响，那么 A 和 B 相互独立：P(A|B) = P(A)（同时 P(B|A) = P(B)）。
把它代入乘法公式，就得到判断方法：P(A ∩ B) = P(A) · P(B)。
- 两枚不同的硬币、两个不同的骰子、有放回的抽取，都是独立的。
- 不放回的抽取，通常不独立。
- 如果 A 和 B 独立，那么 A 与 B′、A′ 与 B、A′ 与 B′ 也都独立。
- 三个事件要相互独立，必须任意两个都独立，并且 P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C)。
独立不等于互斥
互斥是指 A 和 B 不可能同时发生：P(A ∩ B) = 0。独立是指两者互不影响。如果两个事件的概率都不为零，它们就不可能既互斥又独立：A 一旦发生，互斥的 B 就变得不可能，说明这个消息明显改变了 B 的概率。
在家试一试
拿 10 张卡片，写上 1 到 10。先猜一猜抽到的数大于 6 的概率（是 4/10）。现在朋友偷看了一眼，说“是偶数”。把奇数卡片拿走，只剩 2、4、6、8、10，其中 8 和 10 大于 6：概率是 2/5。还是 0.4！所以这里“大于 6”和“偶数”是独立的。再试试“大于 5”，看看概率会不会变。
重点公式和概念
- P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) ≠ 0
- P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B) (equally likely outcomes)
- P(A′|B) = 1 − P(A|B)
- P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
- P(A ∩ B ∩ C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A ∩ B)
- Independent: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
例题讲解
1. P(A) = 0.6，P(B) = 0.5，P(A ∩ B) = 0.2。求 P(A|B) 和 P(B|A)。
第 1 步：P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.5 = 0.4。 第 2 步：P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) = 0.2/0.6 = 1/3。 注意：两个答案不一样。
2. 掷两个均匀的骰子。已知第 1 个骰子是偶数，求点数之和为 8 的概率。
第 1 步：B = 第 1 个骰子是偶数 → 3 × 6 = 18 种结果。 第 2 步：A ∩ B = (2,6)、(4,4)、(6,2) → 3 种结果。 第 3 步：P(A|B) = 3/18 = 1/6。
3. 一个家庭有两个孩子。已知至少有一个是女孩，求两个都是女孩的概率。
第 1 步：所有情况：GG、GB、BG、BB（等可能，G 表示女孩，B 表示男孩）。 第 2 步：B = 至少有一个女孩 → GG、GB、BG（3 种）。 第 3 步：A ∩ B = GG（1 种）。 第 4 步：P = 1/3（不是 1/2！）。
4. 盒子里有 5 支红笔和 3 支蓝笔。不放回地先后取出两支。求两支都是红笔的概率。
第 1 步：P(第一支是红) = 5/8。 第 2 步：现在 7 支里有 4 支红：P(第二支是红 | 第一支是红) = 4/7。 第 3 步：乘法公式：5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14。
5. 从 52 张牌中不放回地依次抽 3 张。求三张都是 K 的概率。
第 1 步：P(K1) = 4/52。 第 2 步：P(K2 | K1) = 3/51。 第 3 步：P(K3 | K1 ∩ K2) = 2/50。 第 4 步：相乘：4/52 × 3/51 × 2/50 = 24/132600 = 1/5525。
6. 掷一个骰子。E =“3 的倍数”，F =“偶数”。E 和 F 是否独立？
第 1 步：E = {3, 6}，P(E) = 1/3。F = {2, 4, 6}，P(F) = 1/2。 第 2 步：E ∩ F = {6}，P(E ∩ F) = 1/6。 第 3 步：P(E)·P(F) = 1/3 × 1/2 = 1/6 = P(E ∩ F)。 所以，它们是独立的。
7. 甲独自解出一道题的概率是 1/2，乙是 1/3（两人相互独立）。求这道题被解出的概率。
第 1 步：P(甲没解出) = 1/2，P(乙没解出) = 2/3。 第 2 步：两人都没解出（独立）：1/2 × 2/3 = 1/3。 第 3 步：被解出 = 1 − 1/3 = 2/3。
8. P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，且 A、B 独立。求 P(A ∪ B) 和 P(A′ ∩ B′)。
第 1 步：P(A ∩ B) = 0.3 × 0.4 = 0.12。 第 2 步：P(A ∪ B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58。 第 3 步：P(A′ ∩ B′) = 1 − P(A ∪ B) = 0.42（验算：0.7 × 0.6 = 0.42 ✓）。
常见错误
- 把 P(A|B) 和 P(B|A) 弄混。竖线后面的事件是你已经知道的，它要放在分母里。
- 已经知道 B 之后，还除以整个样本空间。已知 B 时，只能在 B 里面数。
- 以为“独立”就是“不能同时发生”。那是互斥，是另一个概念。
- 不放回抽取时还用 P(A)·P(B)。第二次抽取受第一次影响，要用 P(A)·P(B|A)。