조건부확률이란?
추측하기 전에 추가 정보를 얻을 때가 있습니다. 그 정보는 이미 일어난 사건 B입니다. 그러면 B 밖의 결과는 이제 불가능합니다. B가 새로운 표본공간(가능한 모든 결과의 목록)이 됩니다.
B가 주어졌을 때 A의 확률은 P(A|B)라고 씁니다. 세로선 "|"은 "주어졌을 때"라고 읽습니다.
P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), 단 P(B) ≠ 0.
결과가 모두 같은 가능성을 가지면 그냥 세어도 됩니다: P(A|B) = n(A ∩ B) ÷ n(B).
조건부확률의 성질
- 다른 확률처럼 0 ≤ P(A|B) ≤ 1.
- P(S|B) = P(B|B) = 1: 새로운 세상 안에서 B는 확실합니다.
- P(A′|B) = 1 − P(A|B) (A′는 "A가 아님").
- 임의의 A, C에 대해: P(A ∪ C | B) = P(A|B) + P(C|B) − P(A ∩ C | B).
- P(A|B)와 P(B|A)는 보통 다릅니다. 분수의 분모가 바뀌기 때문입니다.
확률의 곱셈정리
정의의 양변에 P(B)를 곱하면 곱셈정리가 나옵니다.
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) = P(A) · P(B|A)
일이 차례로 일어날 때 씁니다. 예를 들어 첫 카드를 돌려놓지 않고 카드 두 장을 뽑는 경우입니다. 첫 번째 확률 × (첫 번째가 일어났을 때) 두 번째 확률입니다.
사건이 셋일 때: P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B|A) · P(C|A ∩ B).
독립사건
하나를 알아도 다른 하나에 대해 아무것도 알 수 없으면 A와 B는 독립입니다: P(A|B) = P(A) (그리고 P(B|A) = P(B)).
이것을 곱셈정리에 넣으면 판별식이 나옵니다: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
- 서로 다른 동전 두 개, 서로 다른 주사위 두 개, 복원추출은 독립입니다.
- 비복원추출은 보통 종속입니다.
- A와 B가 독립이면 A와 B′, A′와 B, A′와 B′도 독립입니다.
- 사건 세 개가 독립이려면 모든 짝이 독립이고 또한 P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C)여야 합니다.
독립과 배반은 다릅니다
배반은 A와 B가 동시에 일어날 수 없다는 뜻입니다: P(A ∩ B) = 0. 독립은 서로 영향을 주지 않는다는 뜻입니다. 둘 다 확률이 0이 아니라면 동시에 성립할 수 없습니다. A가 일어나면 배반인 B는 불가능해지므로, 소식이 B의 확률을 분명히 바꾼 것입니다.
집에서 해 보기
1부터 10까지 적힌 카드 10장을 준비하세요. 카드가 6보다 클 확률을 추측해 봅니다(4/10). 이제 친구가 몰래 보고 "짝수야"라고 말합니다. 홀수 카드를 치우면 2, 4, 6, 8, 10만 남고, 그중 8과 10이 6보다 큽니다: 2/5. 같은 수 0.4입니다! 그래서 여기서 "6보다 큼"과 "짝수"는 독립입니다. "5보다 큼"으로 바꿔서 확률이 변하는 것을 확인해 보세요.
핵심 공식과 정의
- P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) ≠ 0
- P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B) (결과의 가능성이 모두 같을 때)
- P(A′|B) = 1 − P(A|B)
- P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
- P(A ∩ B ∩ C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A ∩ B)
- 독립: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
풀이 예제
1. P(A) = 0.6, P(B) = 0.5, P(A ∩ B) = 0.2입니다. P(A|B)와 P(B|A)를 구하세요.
1단계: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.5 = 0.4. 2단계: P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) = 0.2/0.6 = 1/3. 참고: 두 답은 서로 다릅니다.
2. 공정한 주사위 두 개를 던집니다. 첫 번째 주사위가 짝수일 때, 눈의 합이 8일 확률을 구하세요.
1단계: B = 첫 번째가 짝수 → 3 × 6 = 18가지. 2단계: A ∩ B = (2,6), (4,4), (6,2) → 3가지. 3단계: P(A|B) = 3/18 = 1/6.
3. 자녀가 두 명인 집이 있습니다. 적어도 한 명이 딸이라는 것을 알 때, 둘 다 딸일 확률은?
1단계: 모든 경우: GG, GB, BG, BB (G = 딸, B = 아들, 가능성이 같음). 2단계: B = 적어도 한 명이 딸 → GG, GB, BG (3가지). 3단계: A ∩ B = GG (1가지). 4단계: P = 1/3 (1/2이 아닙니다!).
4. 상자에 빨간 펜 5자루와 파란 펜 3자루가 있습니다. 펜 두 자루를 돌려놓지 않고 차례로 꺼냅니다. 둘 다 빨간 펜일 확률을 구하세요.
1단계: P(첫 번째 빨강) = 5/8. 2단계: 이제 7자루 중 빨강이 4자루: P(두 번째 빨강 | 첫 번째 빨강) = 4/7. 3단계: 곱셈정리: 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14.
5. 카드 52장에서 세 장을 복원하지 않고 한 장씩 뽑습니다. 세 장 모두 K일 확률을 구하세요.
1단계: P(K1) = 4/52. 2단계: P(K2 | K1) = 3/51. 3단계: P(K3 | K1 ∩ K2) = 2/50. 4단계: 곱하기: 4/52 × 3/51 × 2/50 = 24/132600 = 1/5525.
6. 주사위를 한 번 던집니다. E = "3의 배수", F = "짝수"입니다. E와 F는 독립일까요?
1단계: E = {3, 6}, P(E) = 1/3. F = {2, 4, 6}, P(F) = 1/2. 2단계: E ∩ F = {6}, P(E ∩ F) = 1/6. 3단계: P(E)·P(F) = 1/3 × 1/2 = 1/6 = P(E ∩ F). 그러므로 독립입니다.
7. A는 확률 1/2로, B는 확률 1/3로 문제를 풀 수 있고, 각자 혼자 풉니다(독립). 문제가 풀릴 확률을 구하세요.
1단계: P(A 실패) = 1/2, P(B 실패) = 2/3. 2단계: 둘 다 실패(독립): 1/2 × 2/3 = 1/3. 3단계: 풀림 = 1 − 1/3 = 2/3.
8. P(A) = 0.3, P(B) = 0.4이고 A, B는 독립입니다. P(A ∪ B)와 P(A′ ∩ B′)를 구하세요.
1단계: P(A ∩ B) = 0.3 × 0.4 = 0.12. 2단계: P(A ∪ B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58. 3단계: P(A′ ∩ B′) = 1 − P(A ∪ B) = 0.42 (확인: 0.7 × 0.6 = 0.42 ✓).
자주 하는 실수
- P(A|B)와 P(B|A)를 섞어 쓰는 것. 세로선 뒤의 사건이 이미 아는 사건이고, 분모에 들어갑니다.
- B를 알려 줬는데도 전체 표본공간으로 나누는 것. B가 주어지면 B 안에서만 세세요.
- "독립"을 "동시에 일어날 수 없다"로 생각하는 것. 그것은 배반이고, 다른 개념입니다.
- 비복원추출에 P(A)·P(B)를 쓰는 것. 두 번째 뽑기는 첫 번째에 영향을 받으므로 P(A)·P(B|A)를 써야 합니다.