Что такое условная вероятность?
Иногда перед тем как угадывать, мы получаем дополнительную новость. Эта новость — событие B, которое уже произошло. Тогда все исходы вне B стали невозможными. B становится новым пространством элементарных исходов (списком всех возможных исходов).
Шанс A при условии B записывают как P(A|B). Чёрточку «|» читай как «при условии».
P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B), где P(B) ≠ 0.
Если исходы равновозможны, можно просто считать: P(A|B) = n(A ∩ B) ÷ n(B).
Свойства условной вероятности
- 0 ≤ P(A|B) ≤ 1, как у любой вероятности.
- P(S|B) = P(B|B) = 1: внутри нового мира B — достоверное событие.
- P(A′|B) = 1 − P(A|B) (A′ означает «не A»).
- Для любых A и C: P(A ∪ C | B) = P(A|B) + P(C|B) − P(A ∩ C | B).
- P(A|B) и P(B|A) обычно разные. Меняется знаменатель дроби.
Теорема умножения вероятностей
Умножь обе части определения на P(B). Получится правило умножения:
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) = P(A) · P(B|A)
Его применяют, когда события происходят одно за другим, например при вытаскивании двух карт без возврата первой. Шанс первого × шанс второго при условии первого.
Для трёх событий: P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B|A) · P(C|A ∩ B).
Независимые события
События A и B независимы, если знание об одном ничего не говорит о другом: P(A|B) = P(A) (и P(B|A) = P(B)).
Подставь это в правило умножения и получишь проверку: P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
- Две разные монеты, два разных кубика, выбор с возвратом → независимые события.
- Выбор без возврата → обычно зависимые события.
- Если A и B независимы, то независимы и пары A и B′, A′ и B, A′ и B′.
- Три события независимы, только если каждая пара независима и P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C).
Независимые и несовместные — не одно и то же
Несовместные события A и B не могут произойти вместе: P(A ∩ B) = 0. Независимые события не влияют друг на друга. Если у обоих шанс не равен нулю, они не могут быть и тем и другим: если A произошло, несовместное с ним B становится невозможным, то есть новость явно изменила шанс B.
Попробуй дома
Возьми 10 карточек с числами от 1 до 10. Угадай шанс, что на карточке число больше 6 (это 4/10). Теперь друг подглядел и говорит: «число чётное». Убери нечётные карточки. Остались 2, 4, 6, 8, 10, и больше 6 из них 8 и 10: это 2/5. Получилось то же число 0,4! Значит, «больше 6» и «чётное» здесь независимы. Попробуй «больше 5» и посмотри, как изменится шанс.
Главные формулы и определения
- P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) ≠ 0
- P(A|B) = n(A ∩ B) / n(B) (равновозможные исходы)
- P(A′|B) = 1 − P(A|B)
- P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B) = P(A)·P(B|A)
- P(A ∩ B ∩ C) = P(A)·P(B|A)·P(C|A ∩ B)
- Независимость: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Разобранные примеры
1. P(A) = 0.6, P(B) = 0.5 и P(A ∩ B) = 0.2. Найди P(A|B) и P(B|A).
Шаг 1: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.2/0.5 = 0.4. Шаг 2: P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A) = 0.2/0.6 = 1/3. Замечание: два ответа получились разными.
2. Бросают два честных кубика. Найди шанс, что сумма равна 8, если на первом кубике выпало чётное число.
Шаг 1: B = на первом чётное → 3 × 6 = 18 исходов. Шаг 2: A ∩ B = (2,6), (4,4), (6,2) → 3 исхода. Шаг 3: P(A|B) = 3/18 = 1/6.
3. В семье двое детей. Известно, что хотя бы один из них — девочка. Какой шанс, что обе — девочки?
Шаг 1: Все случаи: ДД, ДМ, МД, ММ (равновозможные). Шаг 2: B = хотя бы одна девочка → ДД, ДМ, МД (3 случая). Шаг 3: A ∩ B = ДД (1 случай). Шаг 4: P = 1/3 (а не 1/2!).
4. В коробке 5 красных и 3 синие ручки. Две ручки вынимают одну за другой без возврата. Найди шанс, что обе красные.
Шаг 1: P(первая красная) = 5/8. Шаг 2: Теперь осталось 4 красных из 7: P(вторая красная | первая красная) = 4/7. Шаг 3: Правило умножения: 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14.
5. Из колоды в 52 карты одну за другой без возврата вынимают три карты. Найди шанс, что все три — короли.
Шаг 1: P(К1) = 4/52. Шаг 2: P(К2 | К1) = 3/51. Шаг 3: P(К3 | К1 ∩ К2) = 2/50. Шаг 4: Перемножаем: 4/52 × 3/51 × 2/50 = 24/132600 = 1/5525.
6. Бросают кубик. E = «число кратно 3», F = «число чётное». Независимы ли E и F?
Шаг 1: E = {3, 6}, P(E) = 1/3. F = {2, 4, 6}, P(F) = 1/2. Шаг 2: E ∩ F = {6}, P(E ∩ F) = 1/6. Шаг 3: P(E)·P(F) = 1/3 × 1/2 = 1/6 = P(E ∩ F). Значит, да, они независимы.
7. A решает задачу с шансом 1/2, а B — с шансом 1/3. Они работают отдельно (независимо). Найди шанс, что задача будет решена.
Шаг 1: P(A не решит) = 1/2, P(B не решит) = 2/3. Шаг 2: Оба не решат (независимо): 1/2 × 2/3 = 1/3. Шаг 3: Задача решена = 1 − 1/3 = 2/3.
8. P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, события A и B независимы. Найди P(A ∪ B) и P(A′ ∩ B′).
Шаг 1: P(A ∩ B) = 0.3 × 0.4 = 0.12. Шаг 2: P(A ∪ B) = 0.3 + 0.4 − 0.12 = 0.58. Шаг 3: P(A′ ∩ B′) = 1 − P(A ∪ B) = 0.42 (проверка: 0.7 × 0.6 = 0.42 ✓).
Частые ошибки
- Путать P(A|B) и P(B|A). Событие после чёрточки — то, которое ты уже знаешь; оно стоит в знаменателе.
- Делить на всё пространство исходов, когда уже известно B. При условии B считай только внутри B.
- Думать, что «независимые» значит «не могут произойти вместе». Это несовместные события, совсем другая идея.
- Применять P(A)·P(B) при выборе без возврата. Второй выбор зависит от первого; используй P(A)·P(B|A).