Уроки: Maths

19 уроков

• Алгебраические выражения: переменные, слагаемые и упрощение – Алгебраическое выражение состоит из букв (переменных) и чисел, соединённых знаками +, −, × и ÷, например 3x + 2. Переменная обозначает число, которое может меняться. Выражение складывается из слагаемых (3x и 2). В слагаемом 3x число 3 называется коэффициентом; слагаемое без буквы, как 2, называется свободным членом (константой). Подобные слагаемые имеют одну и ту же буквенную часть (3x и 5x), их можно складывать; неподобные (3x и 2, или x и x²) складывать нельзя. Подстановка значит поставить число вместо буквы и найти значение. Раскрытие скобок: a(b + c) = ab + ac. Разложение на множители делает обратное: выносит общий множитель за скобки. Формула — это выражение, которое даёт одну величину через другие, а тождество верно при любом значении буквы.
• Графики сложных функций и геометрические образы уравнений – Изменение внутри скобки сдвигает график вбок, а изменение снаружи двигает его вверх, вниз или переворачивает. |f(x)| переворачивает вверх часть под осью x, а f(|x|) копирует правую половину налево. Уравнение с x и y тоже рисует картинку, например окружность или ромб. Это график функции, только если каждая вертикальная прямая пересекает его один раз.
• Исследование функции: периодичность, монотонность, экстремумы, наибольшее и наименьшее значения на отрезке – Чтобы исследовать функцию, задаём четыре вопроса. Повторяется ли график (период T, где f(x + T) = f(x))? Где он идёт вверх или вниз (знак наклона)? Где он разворачивается (наклон равен нулю, это локальный максимум или минимум)? И какое значение на выбранном отрезке [a, b] самое большое и самое маленькое (проверяем два конца и точки разворота внутри)?
• Комплексные числа и квадратные уравнения – У некоторых уравнений, например x² + 1 = 0, нет действительного решения: квадрат любого действительного числа не бывает отрицательным. Поэтому мы вводим новое число i, для которого i² = −1. Комплексное число имеет вид z = a + ib: a — действительная часть, b — мнимая часть. Комплексные числа складывают, вычитают и умножают как обычные выражения, заменяя i² на −1. Чтобы разделить, умножают числитель и знаменатель на сопряжённое число. На плоскости Аргана число z = a + ib — это точка (a, b). Сопряжённое число a − ib — её зеркальное отражение относительно действительной оси, а модуль √(a² + b²) — расстояние до начала координат. У каждого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 с D = b² − 4ac < 0 есть два комплексных корня, и они сопряжены друг другу.
• Конические сечения: окружность, парабола, эллипс и гипербола – Если разрезать двойной конус плоскостью, получится окружность, эллипс, парабола или гипербола; разрез через вершину даёт точку, прямую или пару прямых (вырожденные случаи). Окружность: (x − h)² + (y − k)² = r². Парабола y² = 4ax: фокус (a, 0), директриса x = −a, длина фокальной хорды 4a, e = 1. Эллипс x²/a² + y²/b² = 1 (a > b): c² = a² − b², фокусы (±c, 0), e = c/a < 1, фокальная хорда 2b²/a, PF₁ + PF₂ = 2a. Гипербола x²/a² − y²/b² = 1: c² = a² + b², e = c/a > 1, фокальная хорда 2b²/a, |PF₁ − PF₂| = 2a.
• Координатная геометрия: расстояние и деление отрезка – У каждой точки на плоскости есть адрес (x, y). Расстояние между A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂) равно d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]; это просто теорема Пифагора для разницы по x и разницы по y. Точка P, которая делит AB внутри в отношении m : n, имеет координаты P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n)). Если m = n, то P это середина.
• Кривые и поверхности: как вращение кривой создаёт поверхность – Кривая — это путь из точек, которые подчиняются одному правилу. Если вращать кривую вокруг оси, она описывает поверхность. Наклонная прямая даёт конус, парабола даёт чашу (параболоид), а гипербола даёт градирню (гиперболоид). Если рассечь поверхность на какой-то высоте, получится круг, радиус которого задаёт кривая.
• Модуль числа и промежутки – Модуль |x| — это расстояние от x до 0 на числовой прямой, поэтому он никогда не бывает отрицательным. |x - a| — это расстояние между x и a. Уравнение |x - a| = b даёт x = a + b или x = a - b. Промежуток — это участок числовой прямой; его записывают круглыми скобками (конец не входит) или квадратными (конец входит).
• Непрерывность и дифференцируемость – Функция непрерывна в точке, если в ней нет разрыва графика: предел слева, предел справа и значение функции равны. Производная — это наклон (угловой коэффициент) касательной. С помощью правила цепочки, неявного дифференцирования, формул для eˣ, ln x и обратных тригонометрических функций, логарифмического дифференцирования и параметрического задания можно найти производную почти любой функции школьного курса. Вторая производная показывает, как меняется сам наклон, то есть как изгибается кривая.
• Объёмные фигуры: грани, рёбра, вершины, развёртки и виды – У объёмной фигуры (тела) есть длина, ширина и высота, поэтому она занимает место в пространстве. Мы описываем её, считая грани (плоские или изогнутые поверхности), рёбра (линии, где встречаются две грани) и вершины (углы). У призмы два одинаковых основания, соединённых прямоугольниками; у пирамиды одно основание и треугольники, сходящиеся в верхней точке; у цилиндра, конуса и шара поверхность изогнутая. Развёртка — это плоский рисунок, который складывается в тело. Если нарисовать тело сверху, спереди и сбоку, получатся три его вида. Для любого тела с плоскими гранями верно: грани + вершины − рёбра = 2 (правило Эйлера).
• Показательные, логарифмические и иррациональные неравенства – Три вида неравенств объединяет одна идея: сравнить два графика. Для степеней и логарифмов знак зависит от основания (больше 1 — знак остаётся, между 0 и 1 — знак меняется). Для логарифмов и корней сначала проверяют область допустимых значений, а в корневом неравенстве важно учесть знак другой части.
• Применение производной – Производная показывает, как быстро одна величина меняется по сравнению с другой. Её знак говорит, растёт функция (f′ > 0, возрастает) или падает (f′ < 0, убывает). Там, где f′ = 0, касательная горизонтальна: такие критические точки могут быть локальным максимумом или минимумом. Это проверяют по первой производной (смена знака) или по второй (знак f″). Так решают реальные задачи: самая большая коробка или самый дешёвый бак.
• Разложение квадратного трёхчлена на множители – Квадратный трёхчлен вроде x² + 5x + 6 можно записать как произведение двух скобок: (x + 2)(x + 3). Для x² + bx + c найдите два числа, произведение которых равно c, а сумма равна b. Для ax² + bx + c найдите два числа с произведением a × c и суммой b, разбейте средний член и вынесите общие множители. Всегда проверяйте ответ, раскрыв скобки.
• Системы уравнений и равносильные системы – Система — это несколько уравнений, которые должны быть верными одновременно. Две системы равносильны, если у них в точности одни и те же решения. Перестановка уравнений, умножение уравнения на число, не равное нулю, и прибавление к одному уравнению другого, умноженного на число, сохраняют равносильность. Поэтому систему можно упрощать и не потерять ответ.
• Текстовые задачи: решаем их с помощью алгебры – Текстовая задача — это история, в которой спрятано число. Алгебраический метод состоит из четырёх шагов: обозначить неизвестное буквой, превратить историю в уравнение, решить уравнение и проверить ответ по условию истории. Эти же четыре шага работают для чисел, возраста, скорости, работы, фигур, а также для задач с двумя неизвестными или с квадратным уравнением.
• Тождества и формулы сокращённого умножения – Тождество — это равенство, верное при любых значениях букв. Его можно доказать картинкой: квадрат со стороной (a + b) делится на a², ab, ab и b², поэтому (a + b)² = a² + 2ab + b². Так же получаем (a − b)², a² − b² = (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (a + b + c)² и (a + b)³. Если читать их справа налево, они помогают раскладывать на множители, быстро считать и сокращать алгебраические дроби.
• Углублённая математика: тригонометрия, анализ, геометрия и вероятность – В старшей школе математика делится на три большие ветви. Тригонометрия и анализ изучают волны и изменения: sin θ на окружности, производная как наклон, интеграл как площадь. Геометрия изучает фигуры и тела, например конус : шар : цилиндр = 1 : 2 : 3. Вероятность и статистика измеряют случайность и данные, от кубиков до колоколообразной кривой.
• Уравнения и неравенства с параметром – Параметр — это буква, например a, которая обозначает одно фиксированное число, но мы пока не знаем какое. Мы спрашиваем: «При каких a уравнение имеет 0, 1, 2 или больше решений?». Графический метод двигает a: уравнение записывают как f(x) = a и скользят горизонтальной прямой y = a по кривой y = f(x).
• Условная вероятность, правило умножения и независимые события – Условная вероятность — это шанс события A, когда мы уже знаем, что событие B произошло. Мы отбрасываем все исходы вне B и считаем заново: P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B). Если перевернуть формулу, получится правило умножения: P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B). Если знание о B не меняет шанс A, события независимы, и тогда P(A ∩ B) = P(A)·P(B).