Тригонометрия: от окружности к волне
Поставьте точку на окружность радиуса 1 и поверните её на угол θ. Её высота равна sin θ, а положение по горизонтали равно cos θ. Когда θ растёт, высота поднимается до 1, опускается до −1 и возвращается: получается волна, которая повторяется каждые 360° (2π радиан). Поэтому синус и косинус описывают звук, свет и качание маятника.
Углы можно измерять в радианах: π радиан = 180°. На окружности всегда верно: sin²θ + cos²θ = 1, потому что точка лежит на окружности радиуса 1.
Анализ: производная (наклон) и интеграл (площадь)
Производная показывает, как быстро что-то меняется. На графике это наклон касательной, то есть прямой, которая касается кривой ровно в одной точке. Возьмите две близкие точки и сближайте их всё сильнее: наклон прямой через них станет равен наклону касательной.
Первое правило (степенное): если y = xⁿ, то dy/dx = n xⁿ⁻¹. Значит, для y = x² наклон равен 2x, а для y = x²/4 он равен x/2.
Интеграл складывает много тонких полосок, чтобы найти площадь под кривой. Со столбиками: площадь ≈ сумма (высота × ширина). Чем больше и тоньше столбики, тем точнее ответ. Для y = xⁿ: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1). Площадь под y = x²/4 от 0 до 4 равна 4³/12 = 5.33.
Производная и интеграл отменяют друг друга. Эта связь называется основной теоремой анализа.
Геометрия: фигуры и тела
В координатной геометрии фигуры описывают числами. Расстояние между (x₁, y₁) и (x₂, y₂) равно √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), а окружность с центром (0, 0) и радиусом r задаётся уравнением x² + y² = r².
Для тел возьмём цилиндр радиуса r и высоты h = 2r. Конус таких же размеров вмещает одну треть его объёма, а шар, который как раз помещается внутрь, вмещает две трети:
V(цилиндр) = πr²h, V(конус) = πr²h/3, V(шар) = 4πr³/3.
Архимед нашёл это отношение 1 : 2 : 3 более 2000 лет назад. В 3D вы можете перелить конус и шар в цилиндр: они заполнят его точно.
Вероятность и статистика
Вероятность = благоприятные исходы ÷ все равновозможные исходы. У двух кубиков 6 × 6 = 36 исходов. Сумма 7 получается 6 способами (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), поэтому P(7) = 6/36 = 1/6, это больше, чем P(2) = 1/36. Вот почему средний столбик самый высокий.
Статистика описывает данные. Среднее это среднее арифметическое. Стандартное отклонение показывает, насколько значения обычно отходят от среднего. Когда складывается много маленьких случайностей (например, у двух и более кубиков), столбчатая диаграмма результатов принимает форму плавного колокола, то есть нормального распределения. Около 68% значений лежат в пределах одного стандартного отклонения от среднего.
Попробуйте сами и что учить дальше
Попробуйте: бросьте кубики 100 раз в 3D и заранее угадайте, какой столбик будет самым высоким. Потом бросьте ещё 100 раз. Чем больше бросков, тем ближе синие столбики к оранжевому контуру.
Дальше изучайте глубже: Единичная окружность, Производные, Интегрирование, Стереометрия и Нормальное распределение.
Главные формулы и определения
- sin²θ + cos²θ = 1; π рад = 180°
- d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
- ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C
- V(цилиндр) = πr²h; V(конус) = ⅓ πr²h; V(шар) = 4⁄3 πr³
- P(событие) = благоприятные ÷ все; среднее = сумма ÷ количество
Разобранные примеры
1. Угол θ острый и cos θ = 0.6. Найдите sin θ.
sin²θ + cos²θ = 1, значит sin²θ = 1 − 0.36 = 0.64. sin θ = 0.8 (положительный, так как θ острый).
2. Найдите наклон y = 3x² + 5x при x = 2.
dy/dx = 6x + 5. При x = 2: 6 × 2 + 5 = 17.
3. Найдите площадь под y = x² от x = 0 до x = 3.
Площадь = ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 27/3 − 0 = 9.
4. Найдите объём шара радиуса 3 см.
V = 4⁄3 π r³ = 4⁄3 × π × 27 = 36π ≈ 113.1 см³.
5. Бросают два правильных кубика. Найдите вероятность того, что сумма равна 8.
Способы получить 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) = 5 способов из 36. P = 5/36 ≈ 0.139.
6. Найдите среднее и стандартное отклонение для 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
Среднее = 40 ÷ 8 = 5. Квадраты разностей: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 = 32. Дисперсия = 32 ÷ 8 = 4. Стандартное отклонение = √4 = 2.
Частые ошибки
- Путать градусы и радианы на калькуляторе. Сначала проверьте режим.
- Забывать уменьшить степень на единицу при дифференцировании: производная x³ равна 3x², а не 3x³.
- Забывать + C в неопределённом интеграле.
- Считать исходы с двумя кубиками как 11 равных (суммы от 2 до 12). Суммы не равновероятны: равных исходов 36.