Matematica avanzata: trigonometria, analisi, geometria e probabilità

Trigonometria: dalla circonferenza all'onda

Metti un punto su una circonferenza di raggio 1 e ruotalo di un angolo θ. La sua altezza è sin θ e la sua posizione orizzontale è cos θ. Mentre θ cresce, l'altezza sale fino a 1, scende a −1 e torna su: un'onda che si ripete ogni 360° (2π radianti). Per questo seno e coseno descrivono suono, luce e l'oscillazione di un pendolo.

Gli angoli si possono misurare in radianti: π radianti = 180°. Sulla circonferenza vale sempre: sin²θ + cos²θ = 1, perché il punto sta su una circonferenza di raggio 1.

Analisi: derivata (pendenza) e integrale (area)

La derivata dice quanto in fretta cambia qualcosa. Sul grafico è la pendenza della tangente, la retta che tocca la curva in un solo punto. Prendi due punti vicini e avvicinali sempre di più: la pendenza della retta che li unisce si stabilizza sulla pendenza della tangente.

Regola da cui partire (regola della potenza): se y = xⁿ allora dy/dx = n xⁿ⁻¹. Quindi per y = x² la pendenza è 2x, e per y = x²/4 è x/2.

L'integrale somma tante fettine sottili per trovare l'area sotto una curva. Con le barre: area ≈ somma di (altezza × larghezza). Più barre, e più sottili, danno un risultato migliore. Per y = xⁿ, ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1). L'area sotto y = x²/4 da 0 a 4 è 4³/12 = 5.33.

Derivata e integrale si annullano a vicenda. Questo legame si chiama teorema fondamentale del calcolo integrale.

Geometria: figure e solidi

Nella geometria analitica descriviamo le figure con i numeri. La distanza tra (x₁, y₁) e (x₂, y₂) è √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), e una circonferenza di centro (0, 0) e raggio r è x² + y² = r².

Per i solidi, prendi un cilindro di raggio r e altezza h = 2r. Un cono delle stesse dimensioni contiene un terzo del cilindro e una sfera che ci sta appena dentro ne contiene due terzi:

V(cilindro) = πr²h, V(cono) = πr²h/3, V(sfera) = 4πr³/3.

Archimede trovò il rapporto 1 : 2 : 3 più di 2000 anni fa. Nel 3D puoi versare cono e sfera nel cilindro: lo riempiono esattamente.

Probabilità e statistica

Probabilità = casi favorevoli ÷ tutti i casi ugualmente possibili. Con due dadi ci sono 6 × 6 = 36 risultati. La somma 7 si può ottenere in 6 modi (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), quindi P(7) = 6/36 = 1/6, più di P(2) = 1/36. Per questo la barra centrale è la più alta.

La statistica descrive i dati. La media è il valore medio. La deviazione standard dice quanto i valori si allontanano di solito dalla media. Quando tante piccole casualità si sommano (come con due o più dadi), il grafico a barre dei risultati forma una curva a campana liscia, la distribuzione normale. Circa il 68% dei valori sta entro una deviazione standard dalla media.

Prova tu e cosa studiare dopo

Prova: lancia i dadi 100 volte nel 3D e prevedi quale barra sarà la più alta prima di guardare. Poi lanciali altre 100 volte. Più lanci, più le barre blu si avvicinano al contorno arancione.

Poi approfondisci con: Circonferenza goniometrica, Derivate, Integrazione, Geometria solida e Distribuzione normale.

Formule e definizioni chiave

• sin²θ + cos²θ = 1; π rad = 180°
• d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C
• V(cilindro) = πr²h; V(cono) = ⅓ πr²h; V(sfera) = 4⁄3 πr³
• P(evento) = favorevoli ÷ totali; media = somma ÷ quantità

Esempi svolti

Errori comuni

• Confondere gradi e radianti sulla calcolatrice. Controlla prima la modalità.
• Dimenticare di abbassare la potenza di uno quando derivi: la derivata di x³ è 3x², non 3x³.
• Dimenticare il + C quando trovi un integrale indefinito.
• Contare i risultati dei dadi come 11 casi uguali (somme da 2 a 12). Le somme non sono ugualmente probabili: i casi uguali sono 36.