Trigonometria: do círculo à onda
Coloque um ponto num círculo de raio 1 e gire-o por um ângulo θ. A altura dele é sen θ e a posição para o lado é cos θ. Quando θ cresce, a altura sobe até 1, desce até −1 e volta: uma onda que se repete a cada 360° (2π radianos). Por isso seno e cosseno descrevem o som, a luz e o balanço de um pêndulo.
Os ângulos podem ser dados em radianos: π radianos = 180°. No círculo, isto é sempre verdade: sen²θ + cos²θ = 1, porque o ponto está num círculo de raio 1.
Cálculo: derivada (inclinação) e integral (área)
A derivada diz com que rapidez algo muda. No gráfico, ela é a inclinação da tangente, a reta que apenas toca a curva num ponto. Pegue dois pontos próximos e aproxime um do outro cada vez mais: a inclinação da reta que os une se aproxima da inclinação da tangente.
Regra para começar (regra da potência): se y = xⁿ, então dy/dx = n xⁿ⁻¹. Assim, para y = x² a inclinação é 2x, e para y = x²/4 ela é x/2.
A integral soma muitas fatias finas para achar a área sob uma curva. Com barras: área ≈ soma de (altura × largura). Quanto mais barras, e mais finas, melhor a resposta. Para y = xⁿ, ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1). A área sob y = x²/4 de 0 a 4 é 4³/12 = 5.33.
Derivada e integral desfazem uma à outra. Essa ligação é o teorema fundamental do cálculo.
Geometria: formas e sólidos
Na geometria analítica descrevemos formas com números. A distância entre (x₁, y₁) e (x₂, y₂) é √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²), e uma circunferência de centro (0, 0) e raio r é x² + y² = r².
Nos sólidos, pegue um cilindro de raio r e altura h = 2r. Um cone do mesmo tamanho tem um terço do volume dele, e uma esfera que cabe justa dentro tem dois terços:
V(cilindro) = πr²h, V(cone) = πr²h/3, V(esfera) = 4πr³/3.
Arquimedes descobriu essa razão 1 : 2 : 3 há mais de 2.000 anos. No 3D você pode despejar o cone e a esfera no cilindro: eles o enchem exatamente.
Probabilidade e estatística
Probabilidade = casos favoráveis ÷ todos os casos igualmente possíveis. Com dois dados há 6 × 6 = 36 resultados. A soma 7 pode sair de 6 maneiras (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), então P(7) = 6/36 = 1/6, maior que P(2) = 1/36. Por isso a barra do meio é a mais alta.
A estatística descreve dados. A média é o valor médio. O desvio padrão mostra o quanto os valores costumam se afastar da média. Quando muitas pequenas chances se somam (como em dois ou mais dados), o gráfico de barras dos resultados forma uma curva em forma de sino suave, a distribuição normal. Cerca de 68% dos valores ficam a até um desvio padrão da média.
Experimente e veja o que estudar depois
Experimente: jogue os dados 100 vezes no 3D e adivinhe qual barra será a mais alta antes de olhar. Depois jogue mais 100 vezes. Quanto mais você joga, mais as barras azuis se aproximam do contorno laranja.
Depois, aprofunde-se com: Círculo trigonométrico, Derivadas, Integração, Geometria espacial e Distribuição normal.
Fórmulas e definições principais
- sen²θ + cos²θ = 1; π rad = 180°
- d/dx (xⁿ) = n xⁿ⁻¹
- ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n + 1) + C
- V(cilindro) = πr²h; V(cone) = ⅓ πr²h; V(esfera) = 4⁄3 πr³
- P(evento) = favoráveis ÷ total; média = soma ÷ quantidade
Exemplos resolvidos
1. Se θ é agudo e cos θ = 0.6, encontre sen θ.
sen²θ + cos²θ = 1, então sen²θ = 1 − 0.36 = 0.64. sen θ = 0.8 (positivo, pois θ é agudo).
2. Encontre a inclinação de y = 3x² + 5x em x = 2.
dy/dx = 6x + 5. Em x = 2: 6 × 2 + 5 = 17.
3. Encontre a área sob y = x² de x = 0 a x = 3.
Área = ∫₀³ x² dx = [x³/3]₀³ = 27/3 − 0 = 9.
4. Encontre o volume de uma esfera de raio 3 cm.
V = 4⁄3 π r³ = 4⁄3 × π × 27 = 36π ≈ 113.1 cm³.
5. Dois dados honestos são lançados. Encontre a probabilidade de a soma ser 8.
Maneiras de obter 8: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) = 5 maneiras em 36. P = 5/36 ≈ 0.139.
6. Encontre a média e o desvio padrão de 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9.
Média = 40 ÷ 8 = 5. Diferenças ao quadrado: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 = 32. Variância = 32 ÷ 8 = 4. Desvio padrão = √4 = 2.
Erros comuns
- Misturar graus e radianos na calculadora. Confira o modo antes.
- Esquecer de diminuir o expoente em um ao derivar: a derivada de x³ é 3x², não 3x³.
- Esquecer o + C ao calcular uma integral indefinida.
- Contar os resultados dos dados como 11 igualmente prováveis (somas de 2 a 12). As somas não são igualmente prováveis: são 36 resultados iguais.