Curvas: retas, cônicas e caminhos paramétricos
Uma curva é o caminho de um ponto em movimento. O círculo, a elipse, a parábola e a hipérbole são as quatro seções cônicas: elas aparecem quando um plano corta um cone em inclinações diferentes. Um corte reto dá um círculo, uma pequena inclinação dá uma elipse, um corte paralelo à lateral dá uma parábola, e um corte bem inclinado que atinge as duas metades de um cone duplo dá uma hipérbole. Veja as equações em Seções cônicas.
Uma curva também pode ser escrita com um parâmetro: x = f(t) e y = g(t). Por exemplo, x = cos t, y = sin t desenha um círculo quando t vai de 0 a 2π. Essa é a ideia de Equações paramétricas.
Construções: desenhar com exatidão
Uma construção desenha uma figura usando só uma régua sem marcações e um compasso. Dá para traçar a bissetriz de um ângulo, a mediatriz de um segmento, copiar um ângulo e construir um triângulo equilátero. Cada passo usa o fato de que todos os pontos de um círculo estão à mesma distância do centro. Os detalhes estão em Construções geométricas.
Por que isso importa aqui: as construções eram o modo de desenhar curvas de contorno e cortes de superfícies muito antes dos computadores.
Superfícies de revolução
Uma superfície é uma pele fina no espaço 3D, com duas direções ao longo dela. Uma superfície de revolução nasce quando giramos uma curva geratriz em volta de uma reta chamada eixo. Se a curva está a uma distância r(y) do eixo na altura y, então todo ponto da superfície satisfaz x² + z² = r(y)².
Exemplos com o eixo na vertical: uma reta vertical r = constante dá um cilindro; uma reta inclinada r = k|y| dá um cone; uma parábola dá um paraboloide (tigela); e uma hipérbole dá um hiperboloide (torre de resfriamento).
Cortando uma superfície (seções transversais)
Corte a superfície com um plano na altura y. Numa superfície de revolução, um corte transversal ao eixo é sempre um círculo de raio r(y). A área dele é πr². Um corte ao longo do eixo mostra a própria curva geratriz.
O mesmo truque vale para qualquer sólido: para entender uma superfície, corte-a e observe as curvas que aparecem.
Fórmulas e definições principais
- Superfície de revolução em torno do eixo y: x² + z² = r(y)²
- Cilindro: r(y) = c (constante)
- Cone: r(y) = k·y
- Corte circular: área = π·r(y)²
- Círculo por parâmetro: x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
- Elipse por parâmetro: x = a cos t, y = b sin t
Exemplos resolvidos
1. Uma reta vertical a 3 cm do eixo gira em volta do eixo. Dê o nome da superfície e o raio de um corte.
A curva é r = 3, uma constante, então a superfície é um cilindro. Todo corte é um círculo de raio 3 cm.
2. Um cone tem r(y) = 0.5y. Encontre o raio do corte em y = 4.
r = 0.5 × 4 = 2. O corte é um círculo de raio 2.
3. Para o cone r = 0.5y, encontre a área do corte em y = 4.
Área = π r² = π × 2² = 4π ≈ 12.57 unidades quadradas.
4. Uma torre tem r(y) = √(1 + y²), com y medido a partir do meio. Encontre o raio na cintura e em y = 3.
Em y = 0, r = √1 = 1: é a cintura, a parte mais estreita. Em y = 3, r = √(1 + 9) = √10 ≈ 3.16. Nas pontas ela é mais larga.
5. Um plano corta um cone paralelamente à sua lateral inclinada. Que cônica aparece?
Uma parábola. Um corte reto dá um círculo, uma pequena inclinação dá uma elipse, um corte paralelo à lateral dá uma parábola e um corte bem inclinado pelas duas metades dá uma hipérbole.
Erros comuns
- Achar que a curva geratriz e a superfície são a mesma coisa. A superfície é o que a curva desenha quando gira.
- Esquecer que x² + z² = r² é um círculo para cada y fixo, e não uma única curva plana.
- Confundir o cone com o paraboloide. Uma curva reta dá um cone; uma parábola curva dá uma tigela.
- Chamar todo corte de círculo. Um corte transversal ao eixo é um círculo, mas um corte inclinado de um cone pode ser elipse, parábola ou hipérbole.