곡선: 직선, 원뿔곡선, 매개변수로 나타낸 길
곡선은 움직이는 점이 지나간 길입니다. 원, 타원, 포물선, 쌍곡선을 네 가지 원뿔곡선이라고 부릅니다. 평평한 평면으로 원뿔을 기울기를 바꿔 가며 자를 때 나타나기 때문입니다. 수평으로 자르면 원, 조금 기울이면 타원, 옆면의 기울기와 평행하게 자르면 포물선, 두 쪽으로 된 원뿔의 양쪽을 모두 가르도록 가파르게 자르면 쌍곡선이 나옵니다. 방정식은 원뿔곡선에서 볼 수 있습니다.
곡선은 매개변수로도 나타낼 수 있습니다. x = f(t), y = g(t)처럼 쓰는 것입니다. 예를 들어 x = cos t, y = sin t는 t가 0에서 2π까지 변할 때 원을 그립니다. 이 아이디어는 매개변수 방정식에서 다룹니다.
작도: 정확하게 그리기
작도는 눈금 없는 자(직선자)와 컴퍼스만으로 도형을 그리는 것입니다. 각을 이등분하고, 수직이등분선을 긋고, 각을 옮겨 그리고, 정삼각형을 만들 수 있습니다. 모든 단계는 원 위의 모든 점이 중심에서 같은 거리에 있다는 사실을 이용합니다. 자세한 내용은 기하 작도에 있습니다.
여기서 왜 중요할까요? 컴퓨터가 없던 오래전에는 작도로 겉모양 곡선과 곡면의 단면을 그렸기 때문입니다.
회전면
곡면은 3D 공간에 있는 얇은 껍질로, 그 위에서 두 방향으로 움직일 수 있습니다. 회전면은 모선 곡선을 축이라는 직선 둘레로 돌려서 만듭니다. 높이 y에서 모선이 축으로부터 r(y)만큼 떨어져 있다면, 곡면 위의 모든 점은 x² + z² = r(y)²을 만족합니다.
축을 세운 경우의 예: 수직선 r = 상수는 원기둥, 비스듬한 직선 r = k|y|는 원뿔, 포물선은 포물면(그릇), 쌍곡선은 쌍곡면(냉각탑)이 됩니다.
곡면 자르기 (단면)
높이 y에서 평평한 평면으로 곡면을 잘라 보세요. 회전면을 축에 가로로 자르면 언제나 반지름이 r(y)인 원이 나옵니다. 그 넓이는 πr²입니다. 축을 따라 세로로 자르면 모선 곡선 자체가 보입니다.
같은 요령은 어떤 입체에도 통합니다. 곡면을 이해하려면 잘라서 나오는 곡선을 살펴보세요.
핵심 공식과 정의
- y축을 중심으로 한 회전면: x² + z² = r(y)²
- 원기둥: r(y) = c (상수)
- 원뿔: r(y) = k·y
- 원형 단면: 넓이 = π·r(y)²
- 매개변수로 나타낸 원: x = cos t, y = sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
- 매개변수로 나타낸 타원: x = a cos t, y = b sin t
풀이 예제
1. 축에서 3 cm 떨어진 수직선을 축 둘레로 돌립니다. 곡면의 이름과 단면의 반지름을 구하세요.
모선은 r = 3으로 일정하므로 곡면은 원기둥입니다. 모든 단면은 반지름 3 cm인 원입니다.
2. 원뿔이 r(y) = 0.5y입니다. y = 4에서 단면의 반지름을 구하세요.
r = 0.5 × 4 = 2입니다. 단면은 반지름 2인 원입니다.
3. 원뿔 r = 0.5y에서 y = 4일 때 단면의 넓이를 구하세요.
넓이 = π r² = π × 2² = 4π ≈ 12.57 제곱단위입니다.
4. 탑의 반지름이 r(y) = √(1 + y²)이고 y는 가운데에서부터 잰 높이입니다. 가장 잘록한 곳(허리)과 y = 3에서의 반지름을 구하세요.
y = 0에서 r = √1 = 1이고, 여기가 가장 좁은 허리입니다. y = 3에서는 r = √(1 + 9) = √10 ≈ 3.16입니다. 끝으로 갈수록 넓어집니다.
5. 평면이 원뿔의 옆면과 평행하게 원뿔을 자릅니다. 어떤 원뿔곡선이 나올까요?
포물선입니다. 수평으로 자르면 원, 조금 기울이면 타원, 옆면과 평행하게 자르면 포물선, 양쪽을 모두 가르도록 가파르게 자르면 쌍곡선이 나옵니다.
자주 하는 실수
- 모선 곡선과 곡면을 같은 것으로 생각하는 것. 곡면은 곡선이 돌면서 쓸고 지나간 자리입니다.
- x² + z² = r²이 높이 y마다 하나씩 있는 원이라는 것을 잊고, 납작한 곡선 하나로 생각하는 것.
- 원뿔과 포물면을 헷갈리는 것. 곧은 모선은 원뿔, 굽은 포물선은 그릇 모양이 됩니다.
- 잘린 모양이 모두 원이라고 말하는 것. 축에 가로로 자르면 원이지만, 원뿔을 기울여 자르면 타원, 포물선, 쌍곡선이 될 수 있습니다.