원뿔의 단면
쌍원뿔은 기울어진 직선(모선)을 고정된 축 둘레로 돌려서 만들어요. 위아래 두 부분을 날개(nappe)라고 불러요. 뾰족한 끝(꼭짓점)을 지나지 않는 평면으로 잘라 봐요.
- 축에 수직인 평면 → 원.
- 조금 기울인 평면 → 타원 (닫힌 타원형).
- 모선과 나란한 평면 → 포물선 (열린 곡선 하나).
- 더 많이 기울여 두 날개를 모두 자르는 평면 → 쌍곡선 (열린 가지 두 개).
퇴화 이차곡선
평면이 꼭짓점을 지나면 단면이 "찌그러져서" 더 단순한 모양이 돼요.
- 원이나 타원처럼 자르면 → 그냥 점;
- 포물선처럼 자르면 → 직선 하나 (모선);
- 쌍곡선처럼 자르면 → 서로 만나는 두 직선.
원
원은 한 점 C(h, k)(중심)에서 일정한 거리 r(반지름)만큼 떨어진 모든 점의 모임이에요. 두 점 사이의 거리 공식을 쓰면 (x − h)² + (y − k)² = r²이 돼요. 중심이 원점이면 x² + y² = r²이에요.
일반형: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, 중심은 (−g, −f), 반지름은 √(g² + f² − c)예요. 완전제곱식으로 고치면 구할 수 있어요.
포물선
포물선은 한 점(초점)과 한 직선(준선)에서 거리가 같은 점들의 모임이에요. 초점을 지나고 준선에 수직인 직선이 축이고, 그 중간 점이 꼭짓점이에요.
| 방정식 | 초점 | 준선 | 열리는 방향 |
|---|---|---|---|
| y² = 4ax | (a, 0) | x = −a | 오른쪽 |
| y² = −4ax | (−a, 0) | x = a | 왼쪽 |
| x² = 4ay | (0, a) | y = −a | 위 |
| x² = −4ay | (0, −a) | y = a | 아래 |
정현(latus rectum)은 초점을 지나고 축에 수직인 현이에요. 길이는 4a예요.
타원
타원은 두 고정점(초점)까지의 거리의 합이 일정한 값 2a인 점들의 모임이에요. 중심이 원점이고 초점이 x축 위에 있으면 x²/a² + y²/b² = 1, a > b이고 c² = a² − b²이에요.
- 초점 (±c, 0), 꼭짓점 (±a, 0), 긴 축 2a, 짧은 축 2b.
- 이심률 e = c/a이고 0 < e < 1이에요. 0에 가까우면 거의 원이에요.
- 정현 길이 = 2b²/a.
- 초점이 y축 위에 있으면 x²/b² + y²/a² = 1이에요 (큰 수가 y² 아래에 와요).
쌍곡선
쌍곡선은 두 초점까지의 거리의 차가 일정한 값 2a인 점들의 모임이에요. 표준형: x²/a² − y²/b² = 1, c² = a² + b².
- 초점 (±c, 0), 꼭짓점 (±a, 0), 가로축(주축) 2a, 세로축(보조축) 2b.
- 이심률 e = c/a > 1.
- 정현 길이 = 2b²/a.
- 초점이 y축 위에 있으면 y²/a² − x²/b² = 1이에요 (양수인 항이 축을 알려 줘요).
- 가지들은 직선 y = ±(b/a)x에 한없이 가까워져요.
핵심 공식과 정의
- (x − h)² + (y − k)² = r²
- x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0: 중심 (−g, −f), r = √(g² + f² − c)
- y² = 4ax: 초점 (a, 0), 준선 x = −a, 정현 길이 4a
- x²/a² + y²/b² = 1: c² = a² − b², e = c/a < 1
- x²/a² − y²/b² = 1: c² = a² + b², e = c/a > 1
- 타원 / 쌍곡선의 정현 길이 = 2b²/a
풀이 예제
1. 중심이 (−2, 3)이고 반지름이 4인 원의 방정식을 구하세요.
1단계: (x + 2)² + (y − 3)² = 16. 2단계: x² + 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 16. 3단계: x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0.
2. x² + y² + 8x − 10y − 8 = 0의 중심과 반지름을 구하세요.
1단계: (x² + 8x + 16) + (y² − 10y + 25) = 8 + 16 + 25. 2단계: (x + 4)² + (y − 5)² = 49. 3단계: 중심 (−4, 5), 반지름 7.
3. y² = 12x의 초점, 준선, 정현 길이를 구하세요.
1단계: 4a = 12이므로 a = 3. 2단계: 초점 (3, 0), 준선 x = −3. 3단계: 정현 길이 = 4a = 12.
4. x² = −16y의 초점과 준선을 구하세요.
1단계: x² = −4ay 꼴이고 4a = 16, a = 4. 2단계: 아래로 열리므로 초점은 (0, −4). 3단계: 준선 y = 4.
5. 꼭짓점이 원점이고 축이 x축이며 점 (2, 3)을 지나는 포물선을 구하세요.
1단계: y² = 4ax 꼴 (점의 x > 0이므로). 2단계: 9 = 4a × 2 → 4a = 9/2. 3단계: y² = 9x/2, 즉 2y² = 9x.
6. x²/25 + y²/9 = 1의 초점, 이심률, 정현 길이를 구하세요.
1단계: a = 5, b = 3. 2단계: c = √(25 − 9) = 4 → 초점 (±4, 0). 3단계: e = 4/5, 정현 길이 = 2 × 9/5 = 18/5.
7. 꼭짓점이 (±13, 0)이고 초점이 (±5, 0)인 타원을 구하세요.
1단계: a = 13, c = 5. 2단계: b² = a² − c² = 169 − 25 = 144. 3단계: x²/169 + y²/144 = 1.
8. 9y² − 4x² = 36의 초점과 이심률을 구하세요.
1단계: 36으로 나누면 y²/4 − x²/9 = 1, 축은 y축 방향. 2단계: a = 2, b = 3, c = √(4 + 9) = √13. 3단계: 초점 (0, ±√13), e = √13/2.
9. 초점이 (±5, 0)이고 가로축의 길이가 8인 쌍곡선을 구하세요.
1단계: 2a = 8 → a = 4, c = 5. 2단계: b² = c² − a² = 25 − 16 = 9. 3단계: x²/16 − y²/9 = 1.
자주 하는 실수
- 타원에 c² = a² + b²를 쓰는 실수. 타원은 a² − b²예요. 더하기는 쌍곡선에만 써요.
- 축을 잘못 읽는 실수: 타원에서는 분모가 더 큰 쪽이 긴 축을 정하고, 쌍곡선에서는 양수인 항이 축을 정해요.
- y² = 12x에서 a = 12라고 하는 실수. 여기서는 4a = 12이므로 a = 3이에요.
- 완전제곱식을 만들 때 상수를 반대쪽으로 옮기는 것을 잊어서 반지름이 틀리게 나오는 실수.