円錐の切り口
双円錐は、斜めの線(母線)を固定した軸のまわりに回すとできます。上と下の2つの部分を「葉」と呼びます。頂点を通らない平面で切ると:
- 軸に垂直な平面 → 円。
- 少し傾けた平面 → 楕円(閉じた卵形)。
- 母線と平行な平面 → 放物線(開いた1本の曲線)。
- もっと傾けて両方の葉を切る平面 → 双曲線(開いた2本の枝)。
退化した円錐曲線
平面が頂点を通ると、切り口はつぶれて、もっと簡単な形になります:
- 円や楕円のような切り方 → ただの点;
- 放物線のような切り方 → 1本の直線(母線);
- 双曲線のような切り方 → 交わる2直線。
円
円とは、定点 C(h, k)(中心)から一定の距離 r(半径)にある点の集まりです。2点間の距離の公式から、(x − h)² + (y − k)² = r²。中心が原点なら x² + y² = r²。
一般形:x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0。中心は (−g, −f)、半径は √(g² + f² − c)。平方完成をすると求められます。
放物線
放物線とは、定点(焦点)と定直線(準線)から等しい距離にある点の集まりです。焦点を通って準線に垂直な直線を軸、その中間の点を頂点といいます。
| 方程式 | 焦点 | 準線 | 開く向き |
|---|---|---|---|
| y² = 4ax | (a, 0) | x = −a | 右 |
| y² = −4ax | (−a, 0) | x = a | 左 |
| x² = 4ay | (0, a) | y = −a | 上 |
| x² = −4ay | (0, −a) | y = a | 下 |
通径とは、焦点を通って軸に垂直な弦のことです。長さは 4a です。
楕円
楕円とは、2つの定点(焦点)までの距離の和が一定値 2a になる点の集まりです。中心が原点で焦点がx軸上にあるとき:x²/a² + y²/b² = 1、a > b、そして c² = a² − b²。
- 焦点 (±c, 0)、頂点 (±a, 0)、長軸 2a、短軸 2b。
- 離心率 e = c/a で、0 < e < 1。0に近いほど円に近い。
- 通径 = 2b²/a。
- 焦点がy軸上なら:x²/b² + y²/a² = 1(大きいほうの数が y² の下に来る)。
双曲線
双曲線とは、2つの焦点までの距離の差が一定値 2a になる点の集まりです。標準形:x²/a² − y²/b² = 1、c² = a² + b²。
- 焦点 (±c, 0)、頂点 (±a, 0)、主軸 2a、共役軸 2b。
- 離心率 e = c/a > 1。
- 通径 = 2b²/a。
- 焦点がy軸上なら:y²/a² − x²/b² = 1(正の項が軸を決める)。
- 枝は直線 y = ±(b/a)x(漸近線)にどんどん近づきます。
重要な公式と用語
- (x − h)² + (y − k)² = r²
- x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0:中心 (−g, −f)、r = √(g² + f² − c)
- y² = 4ax:焦点 (a, 0)、準線 x = −a、通径 4a
- x²/a² + y²/b² = 1:c² = a² − b²、e = c/a < 1
- x²/a² − y²/b² = 1:c² = a² + b²、e = c/a > 1
- 楕円・双曲線の通径 = 2b²/a
例題
1. 中心 (−2, 3)、半径 4 の円の方程式を求めなさい。
ステップ1:(x + 2)² + (y − 3)² = 16。 ステップ2:x² + 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 16。 ステップ3:x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0。
2. x² + y² + 8x − 10y − 8 = 0 の中心と半径を求めなさい。
ステップ1:(x² + 8x + 16) + (y² − 10y + 25) = 8 + 16 + 25。 ステップ2:(x + 4)² + (y − 5)² = 49。 ステップ3:中心 (−4, 5)、半径 7。
3. y² = 12x の焦点、準線、通径を求めなさい。
ステップ1:4a = 12 なので a = 3。 ステップ2:焦点 (3, 0)、準線 x = −3。 ステップ3:通径 = 4a = 12。
4. x² = −16y の焦点と準線を求めなさい。
ステップ1:x² = −4ay の形で 4a = 16、a = 4。 ステップ2:下向きに開くので焦点は (0, −4)。 ステップ3:準線 y = 4。
5. 頂点が原点、軸がx軸で、点 (2, 3) を通る放物線を求めなさい。
ステップ1:y² = 4ax の形(点の x > 0)。 ステップ2:9 = 4a × 2 → 4a = 9/2。 ステップ3:y² = 9x/2、つまり 2y² = 9x。
6. x²/25 + y²/9 = 1 の焦点、離心率、通径を求めなさい。
ステップ1:a = 5、b = 3。 ステップ2:c = √(25 − 9) = 4 → 焦点 (±4, 0)。 ステップ3:e = 4/5、通径 = 2 × 9/5 = 18/5。
7. 頂点が (±13, 0)、焦点が (±5, 0) の楕円を求めなさい。
ステップ1:a = 13、c = 5。 ステップ2:b² = a² − c² = 169 − 25 = 144。 ステップ3:x²/169 + y²/144 = 1。
8. 9y² − 4x² = 36 の焦点と離心率を求めなさい。
ステップ1:36で割ると y²/4 − x²/9 = 1、軸はy方向。 ステップ2:a = 2、b = 3、c = √(4 + 9) = √13。 ステップ3:焦点 (0, ±√13)、e = √13/2。
9. 焦点が (±5, 0)、主軸の長さが 8 の双曲線を求めなさい。
ステップ1:2a = 8 → a = 4、c = 5。 ステップ2:b² = c² − a² = 25 − 16 = 9。 ステップ3:x²/16 − y²/9 = 1。
よくある間違い
- 楕円に c² = a² + b² を使ってしまう。楕円は a² − b²。足し算は双曲線だけ。
- 軸の向きを読み間違える。楕円では分母が大きいほうが長軸を決め、双曲線では正の項が軸を決める。
- y² = 12x で a = 12 としてしまう。ここでは 4a = 12 なので a = 3。
- 平方完成のとき定数を移項し忘れて、半径が間違ってしまう。