Сечения конуса
Двойной конус получается, если вращать наклонную прямую (образующую) вокруг неподвижной оси. Две его половины называют полостями. Разрежем его плоскостью, которая не проходит через вершину:
- Плоскость под углом 90° к оси → окружность.
- Плоскость немного наклонена → эллипс (замкнутый овал).
- Плоскость параллельна образующей → парабола (одна открытая кривая).
- Плоскость наклонена ещё сильнее и режет обе полости → гипербола (две открытые ветви).
Вырожденные конические сечения
Если плоскость проходит через вершину, сечение «сплющивается» в более простую фигуру:
- как при разрезе для окружности или эллипса → просто точка;
- как при разрезе для параболы → одна прямая (образующая);
- как при разрезе для гиперболы → пара пересекающихся прямых.
Окружность
Окружность — это множество всех точек, находящихся на одном расстоянии r (радиус) от заданной точки C(h, k) (центр). По формуле расстояния: (x − h)² + (y − k)² = r². Если центр в начале координат: x² + y² = r².
Общий вид: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, центр (−g, −f), радиус √(g² + f² − c). Чтобы найти их, выдели полные квадраты.
Парабола
Парабола — это множество точек, одинаково удалённых от заданной точки (фокуса) и заданной прямой (директрисы). Прямая через фокус, перпендикулярная директрисе, — это ось; точка посередине — вершина.
| Уравнение | Фокус | Директриса | Ветви |
|---|---|---|---|
| y² = 4ax | (a, 0) | x = −a | вправо |
| y² = −4ax | (−a, 0) | x = a | влево |
| x² = 4ay | (0, a) | y = −a | вверх |
| x² = −4ay | (0, −a) | y = a | вниз |
Фокальная хорда (latus rectum) — это хорда через фокус, перпендикулярная оси. Её длина равна 4a.
Эллипс
Эллипс — это множество точек, у которых сумма расстояний до двух заданных точек (фокусов) постоянна и равна 2a. Если центр в начале координат, а фокусы на оси x: x²/a² + y²/b² = 1, a > b, и c² = a² − b².
- Фокусы (±c, 0); вершины (±a, 0); большая ось 2a, малая ось 2b.
- Эксцентриситет e = c/a, причём 0 < e < 1. Если e почти 0, эллипс почти как окружность.
- Фокальная хорда = 2b²/a.
- Если фокусы на оси y: x²/b² + y²/a² = 1 (большее число стоит под y²).
Гипербола
Гипербола — это множество точек, у которых разность расстояний до двух фокусов постоянна и равна 2a. Стандартный вид: x²/a² − y²/b² = 1, где c² = a² + b².
- Фокусы (±c, 0); вершины (±a, 0); действительная ось 2a, мнимая ось 2b.
- Эксцентриситет e = c/a > 1.
- Фокальная хорда = 2b²/a.
- Фокусы на оси y: y²/a² − x²/b² = 1 (ось показывает положительное слагаемое).
- Ветви приближаются к прямым y = ±(b/a)x (асимптотам).
Главные формулы и определения
- (x − h)² + (y − k)² = r²
- x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0: центр (−g, −f), r = √(g² + f² − c)
- y² = 4ax: фокус (a, 0), директриса x = −a, фокальная хорда 4a
- x²/a² + y²/b² = 1: c² = a² − b², e = c/a < 1
- x²/a² − y²/b² = 1: c² = a² + b², e = c/a > 1
- Фокальная хорда эллипса / гиперболы = 2b²/a
Разобранные примеры
1. Найди уравнение окружности с центром (−2, 3) и радиусом 4.
Шаг 1: (x + 2)² + (y − 3)² = 16. Шаг 2: x² + 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 16. Шаг 3: x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0.
2. Найди центр и радиус окружности x² + y² + 8x − 10y − 8 = 0.
Шаг 1: (x² + 8x + 16) + (y² − 10y + 25) = 8 + 16 + 25. Шаг 2: (x + 4)² + (y − 5)² = 49. Шаг 3: центр (−4, 5), радиус 7.
3. Найди фокус, директрису и фокальную хорду параболы y² = 12x.
Шаг 1: 4a = 12, значит a = 3. Шаг 2: фокус (3, 0), директриса x = −3. Шаг 3: фокальная хорда = 4a = 12.
4. Найди фокус и директрису параболы x² = −16y.
Шаг 1: вид x² = −4ay, где 4a = 16, a = 4. Шаг 2: ветви вниз: фокус (0, −4). Шаг 3: директриса y = 4.
5. Найди параболу с вершиной в начале координат, осью вдоль оси x, проходящую через (2, 3).
Шаг 1: вид y² = 4ax (у точки x > 0). Шаг 2: 9 = 4a × 2 → 4a = 9/2. Шаг 3: y² = 9x/2, или 2y² = 9x.
6. Для x²/25 + y²/9 = 1 найди фокусы, эксцентриситет и фокальную хорду.
Шаг 1: a = 5, b = 3. Шаг 2: c = √(25 − 9) = 4 → фокусы (±4, 0). Шаг 3: e = 4/5; фокальная хорда = 2 × 9/5 = 18/5.
7. Найди эллипс с вершинами (±13, 0) и фокусами (±5, 0).
Шаг 1: a = 13, c = 5. Шаг 2: b² = a² − c² = 169 − 25 = 144. Шаг 3: x²/169 + y²/144 = 1.
8. Для 9y² − 4x² = 36 найди фокусы и эксцентриситет.
Шаг 1: делим на 36: y²/4 − x²/9 = 1, ось вдоль y. Шаг 2: a = 2, b = 3, c = √(4 + 9) = √13. Шаг 3: фокусы (0, ±√13), e = √13/2.
9. Найди гиперболу с фокусами (±5, 0) и действительной осью 8.
Шаг 1: 2a = 8 → a = 4; c = 5. Шаг 2: b² = c² − a² = 25 − 16 = 9. Шаг 3: x²/16 − y²/9 = 1.
Частые ошибки
- Использовать c² = a² + b² для эллипса. У эллипса c² = a² − b²; плюс бывает только у гиперболы.
- Неправильно определять ось: у эллипса большая ось определяется большим знаменателем, а у гиперболы — положительным слагаемым.
- Брать a = 12 в y² = 12x. Здесь 4a = 12, поэтому a = 3.
- Забыть перенести число в другую часть при выделении полных квадратов, и радиус получается неверным.