圆锥的截面
双圆锥是一条斜线（母线）绕着一条固定的轴旋转得到的。上下两部分叫做两个锥面。用一个不经过尖端（顶点）的平面去切它：
- 平面与轴成 90° → 圆。
- 平面稍微倾斜 → 椭圆（封闭的椭圆形）。
- 平面平行于一条母线 → 抛物线（一条开口的曲线）。
- 平面再倾斜一些，同时切到两个锥面 → 双曲线（两支开口的曲线）。
退化的圆锥曲线
如果平面经过顶点，截出来的图形会“缩”成更简单的形状：
- 像切圆或椭圆那样切 → 只得到一个点；
- 像切抛物线那样切 → 一条直线（一条母线）；
- 像切双曲线那样切 → 两条相交的直线。
圆
圆是到一个定点 C(h, k)（圆心）的距离等于定长 r（半径）的所有点的集合。由两点间距离公式得：(x − h)² + (y − k)² = r²。圆心在原点时：x² + y² = r²。
一般式：x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0，圆心为 (−g, −f)，半径为 √(g² + f² − c)。用配方法就能求出它们。
抛物线
抛物线是到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）距离相等的所有点的集合。过焦点且垂直于准线的直线叫轴，轴上正中间的点是顶点。
| 方程 | 焦点 | 准线 | 开口方向 |
|---|---|---|---|
| y² = 4ax | (a, 0) | x = −a | 向右 |
| y² = −4ax | (−a, 0) | x = a | 向左 |
| x² = 4ay | (0, a) | y = −a | 向上 |
| x² = −4ay | (0, −a) | y = a | 向下 |
通径是过焦点且垂直于轴的弦，它的长度是 4a。
椭圆
椭圆是到两个定点（焦点）的距离之和等于定值 2a 的所有点的集合。中心在原点、焦点在 x 轴上时：x²/a² + y²/b² = 1，a > b，并且 c² = a² − b²。
- 焦点 (±c, 0)；顶点 (±a, 0)；长轴 2a，短轴 2b。
- 离心率 e = c/a，且 0 < e < 1。e 越接近 0，椭圆越接近圆。
- 通径 = 2b²/a。
- 如果焦点在 y 轴上：x²/b² + y²/a² = 1（分母大的那个在 y² 下面）。
双曲线
双曲线是到两个焦点的距离之差（取绝对值）等于定值 2a 的所有点的集合。标准形式：x²/a² − y²/b² = 1，并且 c² = a² + b²。
- 焦点 (±c, 0)；顶点 (±a, 0)；实轴 2a，虚轴 2b。
- 离心率 e = c/a > 1。
- 通径 = 2b²/a。
- 焦点在 y 轴上：y²/a² − x²/b² = 1（看哪一项是正的，就知道焦点在哪条轴上）。
- 两支曲线越走越靠近直线 y = ±(b/a)x。
重点公式和概念
- (x − h)² + (y − k)² = r²
- x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0：圆心 (−g, −f)，r = √(g² + f² − c)
- y² = 4ax：焦点 (a, 0)，准线 x = −a，通径 4a
- x²/a² + y²/b² = 1：c² = a² − b²，e = c/a < 1
- x²/a² − y²/b² = 1：c² = a² + b²，e = c/a > 1
- 椭圆 / 双曲线的通径 = 2b²/a
例题讲解
1. 求圆心为 (−2, 3)、半径为 4 的圆的方程。
第1步：(x + 2)² + (y − 3)² = 16。 第2步：x² + 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 16。 第3步：x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0。
2. 求 x² + y² + 8x − 10y − 8 = 0 的圆心和半径。
第1步：(x² + 8x + 16) + (y² − 10y + 25) = 8 + 16 + 25。 第2步：(x + 4)² + (y − 5)² = 49。 第3步：圆心 (−4, 5)，半径 7。
3. 求 y² = 12x 的焦点、准线和通径。
第1步：4a = 12，所以 a = 3。 第2步：焦点 (3, 0)，准线 x = −3。 第3步：通径 = 4a = 12。
4. 求 x² = −16y 的焦点和准线。
第1步：写成 x² = −4ay 的形式，4a = 16，a = 4。 第2步：开口向下：焦点 (0, −4)。 第3步：准线 y = 4。
5. 求顶点在原点、轴在 x 轴上、且经过点 (2, 3) 的抛物线方程。
第1步：设为 y² = 4ax（因为点的 x > 0）。 第2步：9 = 4a × 2 → 4a = 9/2。 第3步：y² = 9x/2，即 2y² = 9x。
6. 对于 x²/25 + y²/9 = 1，求焦点、离心率和通径。
第1步：a = 5，b = 3。 第2步：c = √(25 − 9) = 4 → 焦点 (±4, 0)。 第3步：e = 4/5；通径 = 2 × 9/5 = 18/5。
7. 求顶点为 (±13, 0)、焦点为 (±5, 0) 的椭圆方程。
第1步：a = 13，c = 5。 第2步：b² = a² − c² = 169 − 25 = 144。 第3步：x²/169 + y²/144 = 1。
8. 对于 9y² − 4x² = 36，求焦点和离心率。
第1步：两边除以 36：y²/4 − x²/9 = 1，轴在 y 方向。 第2步：a = 2，b = 3，c = √(4 + 9) = √13。 第3步：焦点 (0, ±√13)，e = √13/2。
9. 求焦点为 (±5, 0)、实轴长为 8 的双曲线方程。
第1步：2a = 8 → a = 4；c = 5。 第2步：b² = c² − a² = 25 − 16 = 9。 第3步：x²/16 − y²/9 = 1。
常见错误
- 椭圆也用 c² = a² + b²。椭圆是 a² − b²，加号只用于双曲线。
- 看错轴的方向：椭圆里分母大的那一项决定长轴方向；双曲线里系数为正的那一项决定实轴方向。
- 在 y² = 12x 中取 a = 12。这里 4a = 12，所以 a = 3。
- 配方时忘了把常数项移到右边，结果半径算错。