Doorsneden van een kegel
Een dubbele kegel ontstaat als je een schuine lijn (de beschrijvende lijn) om een vaste as laat draaien. De twee helften heten mantels. Snijd hem door met een vlak dat niet door de top gaat:
- Vlak loodrecht op de as → cirkel.
- Vlak een beetje gekanteld → ellips (een gesloten ovaal).
- Vlak evenwijdig aan een beschrijvende lijn → parabool (één open kromme).
- Vlak nog verder gekanteld, zodat beide mantels worden gesneden → hyperbool (twee open takken).
Ontaarde kegelsneden
Als het vlak door de top gaat, wordt de snede "platgedrukt" tot een eenvoudigere vorm:
- zoals bij de cirkel- of ellipssnede → alleen een punt;
- zoals bij de paraboolsnede → één rechte lijn (een beschrijvende lijn);
- zoals bij de hyperboolsnede → twee elkaar snijdende lijnen.
Cirkel
Een cirkel is de verzameling van alle punten met een vaste afstand r (straal) tot een vast punt C(h, k) (middelpunt). Met de afstandsformule: (x − h)² + (y − k)² = r². Middelpunt in de oorsprong: x² + y² = r².
Algemene vorm: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, met middelpunt (−g, −f) en straal √(g² + f² − c). Gebruik kwadraatafsplitsen om ze te vinden.
Parabool
Een parabool is de verzameling punten die even ver van een vast punt (het brandpunt) als van een vaste lijn (de richtlijn) liggen. De lijn door het brandpunt loodrecht op de richtlijn is de as; het punt precies halverwege is de top.
| Vergelijking | Brandpunt | Richtlijn | Opent naar |
|---|---|---|---|
| y² = 4ax | (a, 0) | x = −a | rechts |
| y² = −4ax | (−a, 0) | x = a | links |
| x² = 4ay | (0, a) | y = −a | boven |
| x² = −4ay | (0, −a) | y = a | onder |
Het latus rectum is de koorde door het brandpunt loodrecht op de as. De lengte is 4a.
Ellips
Een ellips is de verzameling punten waarvan de afstanden tot twee vaste punten (brandpunten) opgeteld een constante 2a geven. Met het middelpunt in de oorsprong en de brandpunten op de x-as: x²/a² + y²/b² = 1, a > b, en c² = a² − b².
- Brandpunten (±c, 0); toppen (±a, 0); lange as 2a, korte as 2b.
- Excentriciteit e = c/a, en 0 < e < 1. Bijna 0 → bijna een cirkel.
- Latus rectum = 2b²/a.
- Liggen de brandpunten op de y-as: x²/b² + y²/a² = 1 (het grootste getal staat onder y²).
Hyperbool
Een hyperbool is de verzameling punten waarvan de afstanden tot twee brandpunten een constant verschil 2a hebben. Standaardvorm: x²/a² − y²/b² = 1, met c² = a² + b².
- Brandpunten (±c, 0); toppen (±a, 0); reële as 2a, imaginaire as 2b.
- Excentriciteit e = c/a > 1.
- Latus rectum = 2b²/a.
- Brandpunten op de y-as: y²/a² − x²/b² = 1 (de positieve term wijst de as aan).
- De takken komen steeds dichter bij de lijnen y = ±(b/a)x.
Belangrijke formules en begrippen
- (x − h)² + (y − k)² = r²
- x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0: middelpunt (−g, −f), r = √(g² + f² − c)
- y² = 4ax: brandpunt (a, 0), richtlijn x = −a, latus rectum 4a
- x²/a² + y²/b² = 1: c² = a² − b², e = c/a < 1
- x²/a² − y²/b² = 1: c² = a² + b², e = c/a > 1
- Latus rectum van ellips / hyperbool = 2b²/a
Uitgewerkte voorbeelden
1. Stel de vergelijking op van de cirkel met middelpunt (−2, 3) en straal 4.
Stap 1: (x + 2)² + (y − 3)² = 16. Stap 2: x² + 4x + 4 + y² − 6y + 9 = 16. Stap 3: x² + y² + 4x − 6y − 3 = 0.
2. Bepaal het middelpunt en de straal van x² + y² + 8x − 10y − 8 = 0.
Stap 1: (x² + 8x + 16) + (y² − 10y + 25) = 8 + 16 + 25. Stap 2: (x + 4)² + (y − 5)² = 49. Stap 3: middelpunt (−4, 5), straal 7.
3. Bepaal het brandpunt, de richtlijn en het latus rectum van y² = 12x.
Stap 1: 4a = 12, dus a = 3. Stap 2: brandpunt (3, 0), richtlijn x = −3. Stap 3: latus rectum = 4a = 12.
4. Bepaal het brandpunt en de richtlijn van x² = −16y.
Stap 1: vorm x² = −4ay met 4a = 16, a = 4. Stap 2: opent naar beneden: brandpunt (0, −4). Stap 3: richtlijn y = 4.
5. Stel de parabool op met top in de oorsprong, as langs de x-as, door (2, 3).
Stap 1: vorm y² = 4ax (het punt heeft x > 0). Stap 2: 9 = 4a × 2 → 4a = 9/2. Stap 3: y² = 9x/2, oftewel 2y² = 9x.
6. Bepaal voor x²/25 + y²/9 = 1 de brandpunten, de excentriciteit en het latus rectum.
Stap 1: a = 5, b = 3. Stap 2: c = √(25 − 9) = 4 → brandpunten (±4, 0). Stap 3: e = 4/5; latus rectum = 2 × 9/5 = 18/5.
7. Stel de ellips op met toppen (±13, 0) en brandpunten (±5, 0).
Stap 1: a = 13, c = 5. Stap 2: b² = a² − c² = 169 − 25 = 144. Stap 3: x²/169 + y²/144 = 1.
8. Bepaal voor 9y² − 4x² = 36 de brandpunten en de excentriciteit.
Stap 1: deel door 36: y²/4 − x²/9 = 1, as langs y. Stap 2: a = 2, b = 3, c = √(4 + 9) = √13. Stap 3: brandpunten (0, ±√13), e = √13/2.
9. Stel de hyperbool op met brandpunten (±5, 0) en reële as 8.
Stap 1: 2a = 8 → a = 4; c = 5. Stap 2: b² = c² − a² = 25 − 16 = 9. Stap 3: x²/16 − y²/9 = 1.
Veelgemaakte fouten
- c² = a² + b² gebruiken bij een ellips. Bij een ellips is het a² − b²; plus hoort alleen bij de hyperbool.
- De as verkeerd aflezen: bij een ellips bepaalt de grootste noemer de lange as; bij een hyperbool bepaalt de positieve term de as.
- a = 12 nemen in y² = 12x. Hier is 4a = 12, dus a = 3.
- Vergeten de constante te verplaatsen bij kwadraatafsplitsen, waardoor de straal fout uitkomt.