Veranderingssnelheid van grootheden
Als y afhangt van x, dan is dy/dx de veranderingssnelheid van y ten opzichte van x. Op x = a schrijven we (dy/dx) in a, of f′(a).
Veranderen x en y allebei met de tijd t, gebruik dan de kettingregel: dy/dt = (dy/dx) × (dx/dt).
Voorbeeld: de straal van een cirkel groeit met 0.5 cm/s. Oppervlakte A = πr², dus dA/dt = 2πr × dr/dt. Bij r = 4 cm is dA/dt = 2π(4)(0.5) = 4π cm²/s.
Marginale kosten en marginale opbrengst in de economie zijn ook afgeleiden: de verandering in kosten of opbrengst voor één product extra.
Stijgende en dalende functies
Op een interval waar f differentieerbaar is:
- f′(x) > 0 voor alle x → f is strikt stijgend (de grafiek klimt van links naar rechts).
- f′(x) < 0 voor alle x → f is strikt dalend.
- f′(x) = 0 voor alle x → f is constant.
Zo vind je de intervallen
- Bereken f′(x) en los f′(x) = 0 op.
- Deze punten verdelen de getallenlijn in intervallen.
- Test het teken van f′ in elk interval.
Voor f(x) = x³ − 3x: f′ = 3(x − 1)(x + 1). Stijgend op (−∞, −1) en (1, ∞), dalend op (−1, 1).
Maxima en minima
Een lokaal maximum is een punt dat hoger ligt dan alle punten er vlak naast; een lokaal minimum ligt lager dan alle punten vlak ernaast. In zo'n punt (als de functie er glad is) geldt f′(c) = 0. Punten met f′(c) = 0 of waar f′ niet bestaat heten kritieke punten.
Eerste afgeleide test
- f′ gaat bij c van + naar − → lokaal maximum.
- f′ gaat bij c van − naar + → lokaal minimum.
- Geen tekenwissel → geen van beide (een buigpunt, zoals x³ in 0).
Tweede afgeleide test
- f′(c) = 0 en f″(c) < 0 → lokaal maximum.
- f′(c) = 0 en f″(c) > 0 → lokaal minimum.
- f″(c) = 0 → de test geeft geen uitsluitsel; ga terug naar de eerste afgeleide test.
Absoluut (globaal) maximum en minimum op [a, b]
Zoek alle kritieke punten binnen [a, b] en bereken f in die punten en in de randen a en b. De grootste waarde is het absolute maximum, de kleinste het absolute minimum.
Problemen uit het echte leven
- Benoem de grootheid die zo groot/klein mogelijk moet worden (volume, oppervlakte, kosten).
- Schrijf die met de gegeven voorwaarde als formule in één variabele.
- Differentieer, stel de afgeleide gelijk aan 0 en los op.
- Gebruik de tweede (of eerste) afgeleide test om te zien of het een max of min is.
- Geef het antwoord op de vraag, met eenheden.
Doosvoorbeeld: V = x(12 − 2x)², dV/dx = 12(x − 2)(x − 6). x = 6 geeft geen doos, dus x = 2; V″(2) = −48 < 0, een maximum van 128 cm³.
Belangrijke formules en begrippen
- Veranderingssnelheid: dy/dx; gekoppelde snelheden dy/dt = (dy/dx)(dx/dt)
- f′(x) > 0 → stijgend, f′(x) < 0 → dalend
- Kritiek punt: f′(c) = 0 of f′(c) bestaat niet
- Eerste afgeleide test: + → − max, − → + min
- Tweede afgeleide test: f″(c) < 0 max, f″(c) > 0 min
Uitgewerkte voorbeelden
1. De zijde van een vierkant groeit met 3 cm/s. Hoe snel groeit de oppervlakte als de zijde 10 cm is?
A = x², dA/dt = 2x·dx/dt = 2(10)(3) = 60 cm²/s.
2. De straal van een ballon neemt toe met 2 cm/s. Bereken de veranderingssnelheid van het volume als r = 5 cm.
V = (4/3)πr³, dV/dt = 4πr²·dr/dt = 4π(25)(2) = 200π cm³/s.
3. De kosten van x producten zijn C(x) = 0.5x² + 10x + 100. Bereken de marginale kosten bij x = 20.
C′(x) = x + 10. C′(20) = 30. Het 21e product kost ongeveer ₹30 extra.
4. Bepaal de intervallen waarop f(x) = x² − 4x + 1 stijgt of daalt.
f′(x) = 2x − 4 = 0 bij x = 2. Voor x < 2 is f′ < 0 (dalend); voor x > 2 is f′ > 0 (stijgend).
5. Bepaal de lokale maxima en minima van f(x) = 2x³ − 9x² + 12x + 1.
f′ = 6x² − 18x + 12 = 6(x − 1)(x − 2) = 0 → x = 1, 2. f″ = 12x − 18. f″(1) = −6 < 0 → lokaal max f(1) = 6. f″(2) = 6 > 0 → lokaal min f(2) = 5.
6. Bepaal het absolute maximum en minimum van f(x) = x³ − 3x op [0, 3].
Kritiek punt binnen het interval: x = 1 (x = −1 ligt erbuiten). f(0) = 0, f(1) = −2, f(3) = 18. Absoluut max 18 bij x = 3, absoluut min −2 bij x = 1.
7. Twee positieve getallen hebben som 20. Bepaal ze zo dat het product het grootst is.
De getallen zijn x en 20 − x. P = 20x − x². P′ = 20 − 2x = 0 → x = 10. P″ = −2 < 0 → max. De getallen zijn 10 en 10, product 100.
8. Een rechthoek heeft omtrek 40 m. Laat zien dat de oppervlakte het grootst is als het een vierkant is.
Zijden x en 20 − x, A = 20x − x², A′ = 20 − 2x = 0 → x = 10, A″ = −2 < 0. Beide zijden 10 m: een vierkant met oppervlakte 100 m².
Veelgemaakte fouten
- Denken dat f′(c) = 0 altijd een max of min betekent. Bij x³ in 0 is de helling 0, maar de kromme blijft stijgen.
- Vergeten de randpunten te controleren bij het zoeken naar het absolute max of min op een gesloten interval.
- Bij tekstopgaven differentiëren voordat je de grootheid in één variabele hebt geschreven.
- Eenheden door elkaar halen bij snelheden: als r in cm is en de tijd in s, dan is het antwoord in cm²/s of cm³/s.