Wat is continuïteit?
Een functie f is continu in x = a als drie dingen kloppen:
- de linkerlimiet (waarden net kleiner dan a),
- de rechterlimiet (waarden net groter dan a),
- de echte waarde f(a).
Kort: lim(x→a) f(x) = f(a). Als er één ontbreekt of anders is, heeft de grafiek bij a een breuk (een gat of een sprong).
Veeltermen, sin x, cos x, eˣ en ln x (voor x > 0) zijn continu overal waar ze bestaan. Ook som, verschil, product en quotiënt (noemer niet nul) van continue functies zijn continu.
Differentieerbaar betekent continu, maar niet andersom
Als een functie in a een afgeleide heeft, moet hij in a continu zijn. Maar |x| is continu in 0 en heeft daar toch geen afgeleide: de grafiek heeft een scherpe knik, dus de linkerhelling (−1) en de rechterhelling (+1) zijn niet gelijk.
Afgeleide en de kettingregel
De afgeleide f′(x) is de helling van de raaklijn in x: f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)] / h.
Kettingregel (een functie in een functie): als y = f(u) en u = g(x), dan dy/dx = (dy/du) × (du/dx).
Voorbeeld: y = (3x + 1)⁵. Buiten: u⁵ → 5u⁴. Binnen: 3x + 1 → 3. Dus dy/dx = 5(3x + 1)⁴ × 3 = 15(3x + 1)⁴.
Afgeleiden van inverse goniometrische functies
- d/dx (sin⁻¹x) = 1/√(1 − x²), voor −1 < x < 1
- d/dx (cos⁻¹x) = −1/√(1 − x²)
- d/dx (tan⁻¹x) = 1/(1 + x²)
- d/dx (cot⁻¹x) = −1/(1 + x²)
- d/dx (sec⁻¹x) = 1/(|x|√(x² − 1)), d/dx (cosec⁻¹x) = −1/(|x|√(x² − 1))
Waarom tan⁻¹x: neem y = tan⁻¹x, dus tan y = x. Differentieer: sec²y · dy/dx = 1, dus dy/dx = 1/sec²y = 1/(1 + tan²y) = 1/(1 + x²).
Tip: een slimme substitutie zoals x = tan θ maakt een rommelige uitdrukking vaak eenvoudig voordat je differentieert.
Impliciete functies
Soms zitten x en y door elkaar, zoals x² + y² = 9 of x³ + y³ = 3xy. Je hoeft niet naar y op te lossen. Differentieer elke term naar x en vermenigvuldig bij elke term met y met dy/dx (kettingregel). Verzamel daarna de termen met dy/dx.
x² + y² = 9 → 2x + 2y·dy/dx = 0 → dy/dx = −x/y.
Exponentiële en logaritmische functies
- d/dx (eˣ) = eˣ: de helling is gelijk aan de hoogte.
- d/dx (ln x) = 1/x, voor x > 0.
- d/dx (aˣ) = aˣ ln a.
- d/dx (logₐx) = 1/(x ln a).
Met de kettingregel: d/dx (e^(3x)) = 3e^(3x), d/dx ln(sin x) = cos x / sin x = cot x.
Logaritmisch differentiëren
Gebruik dit als de exponent zelf x bevat (zoals xˣ of (sin x)^x), of bij een lang product of quotiënt.
- Neem ln van beide kanten: ln y = x ln x.
- Differentieer: (1/y) dy/dx = ln x + 1.
- Vermenigvuldig met y: dy/dx = xˣ(1 + ln x).
Functies in parametervorm
Soms hangen x en y allebei af van een derde variabele t (een parameter), zoals x = t², y = 2t. Dan geldt
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt), mits dx/dt ≠ 0.
Voor een cirkel x = r cos t, y = r sin t: dy/dx = (r cos t)/(−r sin t) = −cot t.
Tweede afgeleide
Differentieer nog een keer: d²y/dx² = d/dx (dy/dx), ook geschreven als f″(x) of y₂.
Ze laat zien hoe de helling verandert. f″ > 0: de helling neemt toe, de kromme buigt omhoog als een kom. f″ < 0: buigt omlaag als een muts.
Voorbeeld: y = x³ → y′ = 3x² → y″ = 6x.
Bij parametervorm: d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] ÷ (dx/dt). Deel niet gewoon d²y/dt² door d²x/dt².
Belangrijke formules en begrippen
- Continuity at a: lim(x→a⁻) f = lim(x→a⁺) f = f(a)
- Chain rule: dy/dx = (dy/du)(du/dx)
- d/dx sin⁻¹x = 1/√(1 − x²), d/dx tan⁻¹x = 1/(1 + x²)
- d/dx eˣ = eˣ, d/dx ln x = 1/x, d/dx aˣ = aˣ ln a
- Parametric: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
- Second derivative: d²y/dx² = d/dx (dy/dx)
Uitgewerkte voorbeelden
1. Is f(x) = 2x + 3 voor x ≤ 1 en f(x) = 6 − x voor x > 1 continu in x = 1?
Linkerlimiet: 2(1) + 3 = 5. Rechterlimiet: 6 − 1 = 5. Waarde f(1) = 5. Alle drie gelijk, dus f is continu in x = 1.
2. Bepaal k zodat f(x) = kx² voor x ≤ 2 en f(x) = 3 voor x > 2 continu is in x = 2.
Linkerlimiet = waarde = 4k. Rechterlimiet = 3. Voor continuïteit is 4k = 3, dus k = 3/4.
3. Differentieer y = sin(x² + 5).
Buiten sin u → cos u; binnen x² + 5 → 2x. dy/dx = cos(x² + 5) × 2x = 2x cos(x² + 5).
4. Differentieer y = tan⁻¹(2x/(1 − x²)) voor −1 < x < 1.
Neem x = tan θ. Dan is 2x/(1 − x²) = tan 2θ, dus y = 2θ = 2 tan⁻¹x. dy/dx = 2/(1 + x²).
5. Bepaal dy/dx als x² + xy + y² = 7.
2x + (y + x·dy/dx) + 2y·dy/dx = 0. Dus dy/dx (x + 2y) = −(2x + y), en dy/dx = −(2x + y)/(x + 2y).
6. Differentieer y = e^(3x) · ln x.
Productregel: dy/dx = 3e^(3x) ln x + e^(3x)(1/x) = e^(3x)(3 ln x + 1/x).
7. Differentieer y = xˣ (x > 0).
ln y = x ln x. (1/y) dy/dx = ln x + 1. dy/dx = xˣ(1 + ln x).
8. Als x = a cos t en y = a sin t, bepaal dy/dx en d²y/dx².
dx/dt = −a sin t, dy/dt = a cos t, dus dy/dx = −cot t. d/dt(−cot t) = cosec²t. d²y/dx² = cosec²t ÷ (−a sin t) = −1/(a sin³t).
9. Als y = 3e^(2x) + 2e^(−x), laat zien dat y″ − y′ − 2y = 0.
y′ = 6e^(2x) − 2e^(−x); y″ = 12e^(2x) + 2e^(−x). y″ − y′ − 2y = (12 − 6 − 6)e^(2x) + (2 + 2 − 4)e^(−x) = 0.
Veelgemaakte fouten
- De afgeleide van binnen vergeten bij de kettingregel: d/dx sin(3x) is 3cos(3x), niet cos(3x).
- Bij impliciet differentiëren d/dx(y²) = 2y schrijven in plaats van 2y·dy/dx.
- Denken dat elke continue functie differentieerbaar is. |x| is continu in 0 maar heeft een knik, dus daar geen afgeleide.
- Bij de tweede afgeleide in parametervorm d²y/dt² delen door d²x/dt². Differentieer in plaats daarvan dy/dx naar t en deel door dx/dt.