Waarom hebben we complexe getallen nodig?
Kwadrateer een reëel getal: 3² = 9, (−3)² = 9, 0² = 0. Het antwoord is nooit negatief. Dus x² = −1, oftewel x² + 1 = 0, heeft geen reële oplossing.
Wiskundigen losten dit op door één nieuw getal toe te voegen, de imaginaire eenheid, geschreven als i, met i² = −1. Dus √(−1) = i en √(−9) = √9 · i = 3i.
Een complex getal is elk getal z = a + bi met a en b reëel. We noemen a het reële deel, Re(z), en b het imaginaire deel, Im(z). Reële getallen zijn complexe getallen met b = 0, dus er gaat niets verloren. Zie stap 1 van de 3D: i is een kwartslag van 1.
Machten van i
i¹ = i, i² = −1, i³ = i²·i = −i, i⁴ = (i²)² = 1. Daarna herhaalt het patroon zich. Om iⁿ te vinden deel je n door 4 en gebruik je de rest: i⁴ᵏ = 1, i⁴ᵏ⁺¹ = i, i⁴ᵏ⁺² = −1, i⁴ᵏ⁺³ = −i. Voorbeeld: i¹⁰² → 102 = 4 × 25 + 2, dus i¹⁰² = −1.
Let op: √a · √b = √(ab) klopt alleen als a en b niet allebei negatief zijn. Bijvoorbeeld √(−4)·√(−9) = 2i·3i = 6i² = −6, en niet √36 = 6.
Rekenen met complexe getallen
- Gelijkheid: a + bi = c + di alleen als a = c en b = d.
- Optellen: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Dit is gesloten, commutatief en associatief; 0 is het neutrale element en −z is het tegengestelde.
- Aftrekken: (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i.
- Vermenigvuldigen: werk haakjes uit zoals gewoonlijk en vervang i² door −1: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Ook dit is commutatief, associatief en distributief over optellen; 1 is het neutrale element.
- Inverse (omgekeerde): voor z = a + bi ≠ 0 is z⁻¹ = (a − bi)/(a² + b²).
- Delen: z₁/z₂ = z₁ · z₂⁻¹. In de praktijk vermenigvuldig je teller en noemer met de geconjugeerde van de noemer.
Merkwaardige producten zoals (z₁ + z₂)² = z₁² + 2z₁z₂ + z₂² werken ook voor complexe getallen.
Geconjugeerde en modulus
De geconjugeerde van z = a + bi is z̄ = a − bi (verander het teken van het imaginaire deel). De modulus is |z| = √(a² + b²). Handige feiten: z · z̄ = |z|², |z₁z₂| = |z₁||z₂|, |z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|, conj(z₁ + z₂) = z̄₁ + z̄₂, conj(z₁z₂) = z̄₁ z̄₂.
Tussen twee niet-reële complexe getallen bestaat geen ‘groter’ of ‘kleiner’: 2 + i > 1 + 3i heeft geen betekenis. Alleen hun moduli kun je vergelijken.
Het Argandvlak
Teken twee loodrechte assen. De horizontale is de reële as en de verticale is de imaginaire as. Het getal z = a + bi is het punt (a, b). Dit beeld heet het Argandvlak (of complexe vlak).
- Reële getallen (zoals 4) liggen op de reële as; zuiver imaginaire getallen (zoals 3i) liggen op de imaginaire as.
- |z| is de afstand van het punt tot de oorsprong O, volgens Pythagoras (stap 5 van de 3D).
- z̄ is het spiegelbeeld van z in de reële as.
- z₁ + z₂ is het vierde hoekpunt van het parallellogram met O, z₁ en z₂ (stap 3).
- Vermenigvuldigen met i draait het punt 90° tegen de klok in om O (stap 4).
Kwadratische vergelijkingen met complexe oplossingen
Voor ax² + bx + c = 0 (a, b, c reëel) zijn de oplossingen x = (−b ± √D)/2a met D = b² − 4ac.
- D > 0: twee verschillende reële oplossingen. D = 0: twee gelijke reële oplossingen.
- D < 0: √D = i√(−D), dus x = (−b ± i√(−D))/2a. Ze zijn complex en vormen altijd een geconjugeerd paar.
Voorbeeld: x² + 2x + 5 = 0. D = 4 − 20 = −16, √D = 4i, x = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i. Probeer het bij vrij spelen.
Waar let je op bij het examen
Uit dit onderwerp kun je vragen verwachten over: machten van i, een breuk schrijven in de vorm a + bi, modulus, geconjugeerde en inverse, en het oplossen van kwadratische vergelijkingen met D < 0. Geef je eindantwoord altijd in de vorm a + bi.
Belangrijke formules en begrippen
- i = √(−1), i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1
- z = a + ib; Re(z) = a, Im(z) = b
- (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
- z̄ = a − ib; |z| = √(a² + b²); z·z̄ = |z|²
- z⁻¹ = z̄ / |z|² = (a − ib)/(a² + b²)
- ax² + bx + c = 0, D < 0: x = (−b ± i√(−D)) / 2a
Uitgewerkte voorbeelden
1. Bepaal i⁵⁷ en i⁻³.
57 = 4 × 14 + 1, dus i⁵⁷ = i¹ = i. i⁻³ = 1/i³ = 1/(−i) = −1/i. Vermenigvuldig teller en noemer met i: −i/i² = −i/(−1) = i. Dus i⁻³ = i.
2. Bereken (5 − 3i) + (−2 + 7i) en (5 − 3i) − (−2 + 7i).
Som: reëel 5 + (−2) = 3, imaginair −3 + 7 = 4, dus 3 + 4i. Verschil: reëel 5 − (−2) = 7, imaginair −3 − 7 = −10, dus 7 − 10i.
3. Vermenigvuldig (2 + 3i)(4 − i).
2·4 + 2·(−i) + 3i·4 + 3i·(−i) = 8 − 2i + 12i − 3i². Vul i² = −1 in: 8 + 3 + 10i = 11 + 10i.
4. Bepaal de modulus, de geconjugeerde en de inverse van z = 3 − 4i.
|z| = √(9 + 16) = 5. z̄ = 3 + 4i. z⁻¹ = z̄/|z|² = (3 + 4i)/25 = 3/25 + (4/25)i. Controle: (3 − 4i)(3 + 4i)/25 = 25/25 = 1.
5. Schrijf (1 + 2i)/(3 − i) in de vorm a + bi.
Vermenigvuldig teller en noemer met 3 + i. Noemer: 9 + 1 = 10. Teller: (1 + 2i)(3 + i) = 3 + i + 6i + 2i² = 1 + 7i. Antwoord: 1/10 + (7/10)i.
6. Los op: 2x² − 2x + 1 = 0.
a = 2, b = −2, c = 1. D = 4 − 8 = −4 < 0, dus √D = 2i. x = (2 ± 2i)/4 = 1/2 ± (1/2)i. De oplossingen 1/2 + i/2 en 1/2 − i/2 zijn elkaars geconjugeerde.
7. Bepaal de reële x en y als (x + 2y) + i(2x − y) = 5 + 5i.
Gelijke complexe getallen hebben gelijke delen: x + 2y = 5 en 2x − y = 5. Uit de tweede volgt y = 2x − 5. Dan x + 4x − 10 = 5, dus x = 3 en y = 1.
8. Als (a + ib)/(c + id) = x + iy, laat zien dat (a² + b²)/(c² + d²) = x² + y².
Neem de modulus van beide kanten: |a + ib|/|c + id| = |x + iy|. Dus √(a² + b²)/√(c² + d²) = √(x² + y²). Kwadrateer beide kanten en je hebt het bewijs.
Veelgemaakte fouten
- i² = 1 schrijven. Het is i² = −1; dat is de hele reden dat i bestaat.
- √(−4)·√(−9) = √36 = 6 gebruiken. Als beide getallen negatief zijn, schrijf je eerst 2i · 3i = 6i² = −6.
- Direct delen door een complex getal. Vermenigvuldig altijd teller en noemer met de geconjugeerde van de noemer.
- Zeggen dat 3 + 2i > 1 + i. Niet-reële complexe getallen kun je niet ordenen; vergelijk in plaats daarvan de moduli.