O que é continuidade?
Uma função f é contínua em x = a quando três coisas coincidem:
- o limite lateral à esquerda (vindo de valores um pouco menores que a),
- o limite lateral à direita (vindo de valores um pouco maiores que a),
- o valor real f(a).
Resumindo: lim(x→a) f(x) = f(a). Se algum deles não existir ou for diferente, o gráfico tem uma quebra (um buraco ou um salto) em a.
Polinômios, sen x, cos x, eˣ e ln x (para x > 0) são contínuas em todo ponto onde estão definidas. Somas, diferenças, produtos e quocientes (com denominador diferente de zero) de funções contínuas também são contínuos.
Derivável implica contínua, mas não o contrário
Se uma função tem derivada em a, ela precisa ser contínua em a. Mas |x| é contínua em 0 e mesmo assim não tem derivada ali: o gráfico tem uma ponta (um bico), então a inclinação à esquerda (−1) e a inclinação à direita (+1) não são iguais.
Derivada e a regra da cadeia
A derivada f′(x) é a inclinação da tangente em x: f′(x) = lim(h→0) [f(x + h) − f(x)] / h.
Regra da cadeia (uma função dentro de outra): se y = f(u) e u = g(x), então dy/dx = (dy/du) × (du/dx).
Exemplo: y = (3x + 1)⁵. Fora: u⁵ → 5u⁴. Dentro: 3x + 1 → 3. Então dy/dx = 5(3x + 1)⁴ × 3 = 15(3x + 1)⁴.
Derivadas das funções trigonométricas inversas
- d/dx (sen⁻¹x) = 1/√(1 − x²), para −1 < x < 1
- d/dx (cos⁻¹x) = −1/√(1 − x²)
- d/dx (tan⁻¹x) = 1/(1 + x²)
- d/dx (cot⁻¹x) = −1/(1 + x²)
- d/dx (sec⁻¹x) = 1/(|x|√(x² − 1)), d/dx (cosec⁻¹x) = −1/(|x|√(x² − 1))
Por que tan⁻¹x: faça y = tan⁻¹x, então tan y = x. Derive: sec²y · dy/dx = 1, logo dy/dx = 1/sec²y = 1/(1 + tan²y) = 1/(1 + x²).
Dica: uma substituição esperta, como x = tan θ, muitas vezes transforma uma expressão complicada em uma simples antes de derivar.
Funções implícitas
Às vezes x e y aparecem misturados, como em x² + y² = 9 ou x³ + y³ = 3xy. Não precisamos isolar y. Derive cada termo em relação a x e, sempre que derivar algo com y, multiplique por dy/dx (regra da cadeia). Depois junte os termos com dy/dx.
x² + y² = 9 → 2x + 2y·dy/dx = 0 → dy/dx = −x/y.
Funções exponencial e logarítmica
- d/dx (eˣ) = eˣ — a inclinação é igual à altura.
- d/dx (ln x) = 1/x, para x > 0.
- d/dx (aˣ) = aˣ ln a.
- d/dx (logₐx) = 1/(x ln a).
Com a regra da cadeia: d/dx (e^(3x)) = 3e^(3x), d/dx ln(sen x) = cos x / sen x = cotg x.
Derivação logarítmica
Use quando o próprio expoente tem x (como xˣ ou (sen x)^x), ou quando há um produto ou quociente muito longo.
- Aplique ln nos dois lados: ln y = x ln x.
- Derive: (1/y) dy/dx = ln x + 1.
- Multiplique por y: dy/dx = xˣ(1 + ln x).
Funções na forma paramétrica
Às vezes x e y dependem de uma terceira variável t (um parâmetro), como x = t², y = 2t. Então
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt), desde que dx/dt ≠ 0.
Para uma circunferência x = r cos t, y = r sen t: dy/dx = (r cos t)/(−r sen t) = −cotg t.
Derivada de segunda ordem
Derive mais uma vez: d²y/dx² = d/dx (dy/dx), também escrita f″(x) ou y₂.
Ela mostra como a inclinação muda. f″ > 0: a inclinação está crescendo, a curva se curva para cima como uma tigela. f″ < 0: se curva para baixo como um chapéu.
Exemplo: y = x³ → y′ = 3x² → y″ = 6x.
Para formas paramétricas: d²y/dx² = [d/dt (dy/dx)] ÷ (dx/dt). Não divida simplesmente d²y/dt² por d²x/dt².
Fórmulas e definições principais
- Continuity at a: lim(x→a⁻) f = lim(x→a⁺) f = f(a)
- Chain rule: dy/dx = (dy/du)(du/dx)
- d/dx sin⁻¹x = 1/√(1 − x²), d/dx tan⁻¹x = 1/(1 + x²)
- d/dx eˣ = eˣ, d/dx ln x = 1/x, d/dx aˣ = aˣ ln a
- Parametric: dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
- Second derivative: d²y/dx² = d/dx (dy/dx)
Exemplos resolvidos
1. A função f(x) = 2x + 3 para x ≤ 1 e f(x) = 6 − x para x > 1 é contínua em x = 1?
Limite pela esquerda: 2(1) + 3 = 5. Limite pela direita: 6 − 1 = 5. Valor f(1) = 5. Os três são iguais, então f é contínua em x = 1.
2. Encontre k para que f(x) = kx² quando x ≤ 2 e f(x) = 3 quando x > 2 seja contínua em x = 2.
Limite pela esquerda = valor = 4k. Limite pela direita = 3. Para ser contínua, 4k = 3, então k = 3/4.
3. Derive y = sen(x² + 5).
Fora: sen u → cos u; dentro: x² + 5 → 2x. dy/dx = cos(x² + 5) × 2x = 2x cos(x² + 5).
4. Derive y = tan⁻¹(2x/(1 − x²)) para −1 < x < 1.
Faça x = tan θ. Então 2x/(1 − x²) = tan 2θ, logo y = 2θ = 2 tan⁻¹x. dy/dx = 2/(1 + x²).
5. Encontre dy/dx se x² + xy + y² = 7.
2x + (y + x·dy/dx) + 2y·dy/dx = 0. Então dy/dx (x + 2y) = −(2x + y), o que dá dy/dx = −(2x + y)/(x + 2y).
6. Derive y = e^(3x) · ln x.
Regra do produto: dy/dx = 3e^(3x) ln x + e^(3x)(1/x) = e^(3x)(3 ln x + 1/x).
7. Derive y = xˣ (x > 0).
ln y = x ln x. (1/y) dy/dx = ln x + 1. dy/dx = xˣ(1 + ln x).
8. Se x = a cos t e y = a sen t, encontre dy/dx e d²y/dx².
dx/dt = −a sen t, dy/dt = a cos t, então dy/dx = −cotg t. d/dt(−cotg t) = cosec²t. d²y/dx² = cosec²t ÷ (−a sen t) = −1/(a sen³t).
9. Se y = 3e^(2x) + 2e^(−x), mostre que y″ − y′ − 2y = 0.
y′ = 6e^(2x) − 2e^(−x); y″ = 12e^(2x) + 2e^(−x). y″ − y′ − 2y = (12 − 6 − 6)e^(2x) + (2 + 2 − 4)e^(−x) = 0.
Erros comuns
- Esquecer a derivada de dentro na regra da cadeia: d/dx sen(3x) é 3cos(3x), e não cos(3x).
- Na derivação implícita, escrever d/dx(y²) = 2y em vez de 2y·dy/dx.
- Achar que toda função contínua é derivável. |x| é contínua em 0, mas tem um bico, então não tem derivada ali.
- Em segundas derivadas paramétricas, dividir d²y/dt² por d²x/dt². O certo é derivar dy/dx em relação a t e dividir por dx/dt.