O que é um limite? (a ideia intuitiva)
Imagine um ponto se movendo sobre um gráfico. Aproximamos x cada vez mais de um número a e observamos a altura f(x).
Se f(x) fica cada vez mais perto de um único número L, escrevemos lim(x→a) f(x) = L. Lemos assim: “o limite de f(x) quando x tende a a é L”.
Importante: o limite não liga para o valor em a. A função pode até ter um buraco ali. Ele só olha os valores perto de a.
Limites laterais: esquerda e direita
Vir de números menores (como 1,9 e 1,99) dá o limite lateral esquerdo, escrito x → a⁻. Vir de números maiores (2,1 e 2,01) dá o limite lateral direito, x → a⁺.
O limite só existe quando os dois são iguais. Se o gráfico dá um salto, os dois lados são diferentes e não existe limite.
Regras (álgebra) dos limites
Se lim f(x) e lim g(x) existem quando x → a, então:
- limite de uma soma = soma dos limites
- limite de uma diferença = diferença dos limites
- limite de um produto = produto dos limites
- limite de um quociente = quociente dos limites (o limite do denominador não pode ser 0)
- limite de k·f(x) = k × limite de f(x)
Essas regras nos deixam quebrar um limite difícil em pedaços pequenos e fáceis.
Limites de funções polinomiais
Um polinômio não tem buracos nem saltos. Por isso, o limite dele é simplesmente o seu valor.
Exemplo: lim(x→2) (3x² − x + 1) = 3(4) − 2 + 1 = 11.
Limites de funções racionais
Uma função racional é um polinômio dividido por outro, p(x)/q(x).
- Se q(a) ≠ 0, basta colocar x = a.
- Se der 0/0, isso não é resposta. Significa que (x − a) é fator do numerador e do denominador. Fatore, corte (x − a) e depois coloque x = a.
Um resultado muito útil
lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n·aⁿ⁻¹. Por exemplo, lim(x→2) (x⁵ − 32)/(x − 2) = 5 × 2⁴ = 80.
Limites de funções trigonométricas
sen x e cos x são suaves, então lim(x→a) sen x = sen a e lim(x→a) cos x = cos a.
Dois resultados padrão (x em radianos):
- lim(x→0) sen x / x = 1
- lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0
Por que o primeiro é verdadeiro? No círculo unitário, para um ângulo x pequeno, o arco (de comprimento x) e a meia corda (de comprimento sen x) são quase iguais. Um argumento de aperto com áreas prova isso: cos x ≤ sen x / x ≤ 1, e as duas pontas vão para 1.
Truque: faça o ângulo e o denominador ficarem iguais. lim sen 5x / x = 5 × lim (sen 5x)/(5x) = 5.
Limites de funções exponenciais e logarítmicas
eˣ e ln x são suaves onde estão definidas, então nelas podemos substituir o valor (para ln x precisamos de x > 0).
Dois resultados padrão:
- lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
- lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
De novo, faça o que está dentro combinar com o denominador: lim (e³ˣ − 1)/x = 3 × lim (e³ˣ − 1)/(3x) = 3.
Como os limites levam às derivadas
A inclinação de uma curva em um único ponto exigiria um intervalo igual a zero, e não dá para dividir por ele. Então tomamos um intervalo pequeno h e deixamos h → 0. Esse limite é a derivada. Você vai estudá-la na próxima aula.
Experimente
Use uma calculadora em modo radiano. Calcule sen(0,1)/0,1, sen(0,01)/0,01 e sen(0,001)/0,001. Preveja para onde os valores estão indo. Depois abra o modo livre do 3D, escolha sen x / x e deixe h bem pequeno para conferir.
Fórmulas e definições principais
- lim(x→a) f(x) = L quando f(x) → L pelos dois lados
- O limite existe ⇔ lim(x→a⁻) f(x) = lim(x→a⁺) f(x)
- lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n·aⁿ⁻¹
- lim(x→0) sen x / x = 1 (x em radianos)
- lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0
- lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
- lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
Exemplos resolvidos
1. Calcule lim(x→3) (x² + 2x − 1).
É um polinômio, então coloque x = 3: 9 + 6 − 1 = 14.
2. Calcule lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2).
Colocar x = 2 dá 0/0. Fatore: (x − 2)(x + 2)/(x − 2). Corte (x − 2): sobra x + 2. Agora coloque x = 2: resposta 4.
3. f(x) = x + 1 para x < 1 e f(x) = 3x para x ≥ 1. Existe lim(x→1) f(x)?
Limite esquerdo: 1 + 1 = 2. Limite direito: 3 × 1 = 3. Eles não são iguais, então o limite não existe.
4. Calcule lim(x→1) (x¹⁰ − 1)/(x − 1).
Use (xⁿ − aⁿ)/(x − a) → n·aⁿ⁻¹ com n = 10 e a = 1: 10 × 1⁹ = 10.
5. Calcule lim(x→0) sen 4x / sen 2x.
Escreva como [sen 4x/(4x)] × 4x ÷ ([sen 2x/(2x)] × 2x). Os dois colchetes → 1. Então a resposta é 4x/2x = 2.
6. Calcule lim(x→0) (e²ˣ − 1)/x.
Multiplique e divida por 2: 2 × (e²ˣ − 1)/(2x). A fração → 1, então a resposta é 2.
7. Calcule lim(x→0) ln(1 + 3x)/x.
Escreva como 3 × ln(1 + 3x)/(3x). A fração → 1 quando 3x → 0. Resposta: 3.
8. Calcule lim(x→0) (1 − cos 2x)/x².
1 − cos 2x = 2 sen²x. Então o limite é 2 × (sen x / x)² → 2 × 1 = 2.
Erros comuns
- Escrever 0/0 como resposta. 0/0 só quer dizer 'faça mais trabalho': fatore, corte ou use um limite padrão.
- Usar graus em sen x / x. O resultado 1 só vale quando x está em radianos.
- Achar que o limite precisa ser igual a f(a). Um gráfico pode ter um buraco em a e mesmo assim ter limite ali.
- Conferir só um lado. Se os limites esquerdo e direito são diferentes, o limite não existe.