什么是极限？（直观理解）
想象一个点沿着图像移动。我们让 x 越来越靠近某个数 a，同时观察高度 f(x)。
如果 f(x) 越来越靠近某一个数 L，我们写作 lim(x→a) f(x) = L，读作“当 x 趋近于 a 时，f(x) 的极限是 L”。
注意：极限不关心 x = a 处的函数值。函数在那里甚至可以有一个空洞。极限只关心 a 附近的值。
左极限与右极限
从比 a 小的数靠近（如 1.9、1.99）得到左极限，记作 x → a⁻。从比 a 大的数靠近（如 2.1、2.01）得到右极限，记作 x → a⁺。
只有两边相等时，极限才存在。如果图像出现跳跃，两边的值不同，就没有极限。
极限的运算法则
当 x → a 时，如果 lim f(x) 和 lim g(x) 都存在，那么：
- 和的极限 = 极限的和
- 差的极限 = 极限的差
- 积的极限 = 极限的积
- 商的极限 = 极限的商（分母的极限不能是 0）
- k·f(x) 的极限 = k × f(x) 的极限
有了这些法则，我们可以把一个难的极限拆成几个简单的小块。
多项式函数的极限
多项式没有空洞，也没有跳跃，所以它的极限就是它的函数值。
例：lim(x→2) (3x² − x + 1) = 3(4) − 2 + 1 = 11。
分式函数的极限
分式函数是一个多项式除以另一个多项式，即 p(x)/q(x)。
- 如果 q(a) ≠ 0，直接代入 x = a。
- 如果得到 0/0，这不是答案。它说明 (x − a) 是分子和分母的公因式。先因式分解，约去 (x − a)，再代入 x = a。
一个很有用的结论
lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n·aⁿ⁻¹。例如 lim(x→2) (x⁵ − 32)/(x − 2) = 5 × 2⁴ = 80。
三角函数的极限
sin x 和 cos x 是光滑的，所以 lim(x→a) sin x = sin a，lim(x→a) cos x = cos a。
两个重要结论（x 用弧度）：
- lim(x→0) sin x / x = 1
- lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0
第一个为什么成立？在单位圆上，当角 x 很小时，弧长（长度为 x）和半弦长（长度为 sin x）几乎一样。用面积做一个夹逼就能证明：cos x ≤ sin x / x ≤ 1，两端都趋于 1。
小技巧：让角和分母保持一致。lim sin 5x / x = 5 × lim (sin 5x)/(5x) = 5。
指数函数与对数函数的极限
eˣ 和 ln x 在有定义的地方是光滑的，所以可以直接代入数值（ln x 要求 x > 0）。
两个重要结论：
- lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
- lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
同样让里面的式子和分母保持一致：lim (e³ˣ − 1)/x = 3 × lim (e³ˣ − 1)/(3x) = 3。
极限如何引出导数
要求曲线在某一点的斜率，需要间隔为零，而零不能做除数。所以我们取一个很小的间隔 h，再让 h → 0。这个极限就是导数。你会在下一课学习它。
动手试试
把计算器调到弧度模式。算出 sin(0.1)/0.1、sin(0.01)/0.01 和 sin(0.001)/0.001。预测这些值会靠近哪个数。然后打开3D自由练习，选 sin x / x，把 h 变得很小来验证。
重点公式和概念
- lim(x→a) f(x) = L，当 f(x) 从两侧都趋于 L
- 极限存在 ⇔ lim(x→a⁻) f(x) = lim(x→a⁺) f(x)
- lim(x→a) (xⁿ − aⁿ)/(x − a) = n·aⁿ⁻¹
- lim(x→0) sin x / x = 1（x 为弧度）
- lim(x→0) (1 − cos x)/x = 0
- lim(x→0) (eˣ − 1)/x = 1
- lim(x→0) ln(1 + x)/x = 1
例题讲解
1. 求 lim(x→3) (x² + 2x − 1)。
这是多项式，直接代入 x = 3：9 + 6 − 1 = 14。
2. 求 lim(x→2) (x² − 4)/(x − 2)。
代入 x = 2 得 0/0。因式分解：(x − 2)(x + 2)/(x − 2)。约去 (x − 2)，得 x + 2。再代入 x = 2：答案是 4。
3. f(x) 在 x < 1 时为 x + 1，在 x ≥ 1 时为 3x。lim(x→1) f(x) 存在吗？
左极限：1 + 1 = 2。右极限：3 × 1 = 3。两者不相等，所以极限不存在。
4. 求 lim(x→1) (x¹⁰ − 1)/(x − 1)。
用 (xⁿ − aⁿ)/(x − a) → n·aⁿ⁻¹，n = 10，a = 1：10 × 1⁹ = 10。
5. 求 lim(x→0) sin 4x / sin 2x。
写成 [sin 4x/(4x)] × 4x ÷ ([sin 2x/(2x)] × 2x)。两个方括号都趋于 1。所以答案是 4x/2x = 2。
6. 求 lim(x→0) (e²ˣ − 1)/x。
分子分母同乘 2：2 × (e²ˣ − 1)/(2x)。这个分式趋于 1，所以答案是 2。
7. 求 lim(x→0) ln(1 + 3x)/x。
写成 3 × ln(1 + 3x)/(3x)。当 3x → 0 时，分式趋于 1。答案：3。
8. 求 lim(x→0) (1 − cos 2x)/x²。
1 − cos 2x = 2 sin²x。所以极限是 2 × (sin x / x)² → 2 × 1 = 2。
常见错误
- 把 0/0 当作答案。0/0 只表示“还要继续算”：因式分解、约分，或者用重要极限。
- 在 sin x / x 里用角度。结果等于 1 只在 x 是弧度时才成立。
- 以为极限一定等于 f(a)。图像在 a 处可以有空洞，但那里仍然可以有极限。
- 只检查一侧。如果左极限和右极限不同，极限就不存在。