Integrais

Integração como inverso da derivação

Se d/dx F(x) = f(x), então F é uma primitiva (antiderivada) de f e escrevemos ∫f(x) dx = F(x) + C. C é a constante de integração: somar qualquer constante não muda a inclinação, por isso existe uma família inteira de respostas.

Confira sempre sua resposta derivando: você deve voltar ao integrando.

Duas regras básicas: ∫[f ± g] dx = ∫f dx ± ∫g dx e ∫k f dx = k∫f dx.

Integrais imediatas

• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1); ∫1/x dx = ln|x| + C
• ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/ln a + C
• ∫sin x dx = −cos x + C; ∫cos x dx = sin x + C; ∫sec²x dx = tan x + C
• ∫dx/(x² + a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C
• ∫dx/(x² − a²) = (1/2a) ln|(x − a)/(x + a)| + C; ∫dx/(a² − x²) = (1/2a) ln|(a + x)/(a − x)| + C
• ∫dx/√(a² − x²) = sin⁻¹(x/a) + C; ∫dx/√(x² ± a²) = ln|x + √(x² ± a²)| + C
• ∫√(a² − x²) dx = (x/2)√(a² − x²) + (a²/2) sin⁻¹(x/a) + C
• ∫√(x² ± a²) dx = (x/2)√(x² ± a²) ± (a²/2) ln|x + √(x² ± a²)| + C

Para ∫dx/(ax² + bx + c), complete o quadrado para chegar a uma dessas formas.

Integração por substituição

Quando o integrando tem uma função e (um múltiplo de) a sua derivada, faça a função de dentro = u.

∫2x cos(x²) dx: u = x², du = 2x dx → ∫cos u du = sin u + C = sin(x²) + C.

Resultados úteis: ∫tan x dx = ln|sec x| + C, ∫sec x dx = ln|sec x + tan x| + C, ∫f′(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C.

Integração por frações parciais

Para uma função racional própria P(x)/Q(x), divida-a assim:

• 1/((x − a)(x − b)) = A/(x − a) + B/(x − b)
• fator repetido: A/(x − a) + B/(x − a)²
• fator quadrático que não se decompõe: (Bx + C)/(x² + bx + c)

Ache A e B colocando valores convenientes de x e depois integre cada parte como um logaritmo. Se o grau do numerador não for menor, divida primeiro.

Integração por partes

∫u dv = uv − ∫v du, ou ∫f·g dx = f∫g dx − ∫[f′ ∫g dx] dx.

Escolha u (a primeira função) pelo ILATE. ∫x eˣ dx: u = x, dv = eˣ dx → x eˣ − ∫eˣ dx = eˣ(x − 1) + C.

Resultado especial: ∫eˣ[f(x) + f′(x)] dx = eˣ f(x) + C.

Integral definida e o teorema fundamental

∫ₐᵇ f(x) dx é o limite da soma das áreas de retângulos finos sob y = f(x) de a até b (área acima do eixo x conta +, abaixo conta −).

Teorema fundamental do cálculo: (1) A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt tem A′(x) = f(x). (2) Se F′ = f, então ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Não precisa de +C.

Ao usar substituição numa integral definida, mude também os limites.

Propriedades e cálculo de integrais definidas

1. ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(t) dt (a letra não importa).
2. ∫ₐᵇ f = −∫ de b até a de f; ∫ₐᵃ f = 0.
3. ∫ de a até b = ∫ de a até c + ∫ de c até b (divida em c, útil para funções do tipo |x|).
4. ∫ₐᵇ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(a + b − x) dx.
5. ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx.
6. ∫₀²ᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx se f(2a − x) = f(x), e 0 se f(2a − x) = −f(x).
7. ∫₋ₐᵃ f(x) dx = 2∫₀ᵃ f(x) dx se f é par; 0 se f é ímpar.

Clássico: I = ∫₀^(π/2) sin x/(sin x + cos x) dx. Pela propriedade 5, I também = ∫ cos x/(cos x + sin x) dx. Somando: 2I = ∫₀^(π/2) 1 dx = π/2, então I = π/4.

Fórmulas e definições principais

• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, ∫1/x dx = ln|x| + C
• ∫eˣ dx = eˣ + C, ∫sin x dx = −cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C
• ∫dx/(x² + a²) = (1/a) tan⁻¹(x/a) + C
• Por partes: ∫u dv = uv − ∫v du
• ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
• ∫₀ᵃ f(x) dx = ∫₀ᵃ f(a − x) dx

Exemplos resolvidos

Erros comuns

• Esquecer o + C nas integrais indefinidas (nas definidas ele não é necessário).
• Usar ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) para n = −1. O correto é ∫1/x dx = ln|x| + C.
• Depois de substituir numa integral definida, usar os limites antigos para a nova variável.
• Escolher o u errado por partes (por exemplo u = eˣ em ∫x eˣ dx), o que deixa a nova integral mais difícil.