Maths 수업

19 개 수업

• 고급 수학: 삼각함수, 미적분, 기하, 확률 – 고등 수학은 크게 세 갈래예요. 삼각함수와 미적분은 파동과 변화를 다뤄요. 원에서 sin θ를 얻고, 미분은 기울기, 적분은 넓이예요. 기하는 도형과 입체를 다루고, 원뿔 : 구 : 원기둥 = 1 : 2 : 3 이에요. 확률과 통계는 주사위부터 종 모양 곡선까지 우연과 자료를 재요.
• 곡선과 곡면: 곡선을 돌려 곡면 만들기 – 곡선은 어떤 규칙을 따라 움직이는 점들이 그리는 길입니다. 곡선을 축 둘레로 한 바퀴 돌리면 곡면이 만들어집니다. 비스듬한 직선은 원뿔, 포물선은 그릇 모양의 포물면, 쌍곡선은 냉각탑 모양의 쌍곡면이 됩니다. 어떤 높이에서 곡면을 자르면 곡선이 정해 주는 반지름의 원이 나옵니다.
• 곱셈 공식(항등식) 알아보기 – 항등식은 문자에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 등식입니다. 그림으로 증명할 수 있어요. 한 변이 (a + b)인 정사각형은 a², ab, ab, b² 네 조각으로 나뉘므로 (a + b)² = a² + 2ab + b²입니다. 같은 방법으로 (a − b)², a² − b² = (a + b)(a − b), (x + a)(x + b), (a + b + c)², (a + b)³도 구할 수 있어요. 거꾸로 읽으면 인수분해, 빠른 계산, 유리식 간단히 하기에 쓸 수 있습니다.
• 도함수의 활용 – 도함수는 한 양이 다른 양에 비해 얼마나 빠르게 변하는지를 알려 줍니다. 도함수의 부호를 보면 함수가 올라가는지(f′ > 0, 증가) 내려가는지(f′ < 0, 감소) 알 수 있습니다. f′ = 0인 곳은 접선이 수평이고, 이 점(임계점)은 극대 또는 극소일 수 있습니다. 부호 변화를 보는 1계 도함수 판정법이나 f″의 부호를 보는 2계 도함수 판정법으로 확인합니다. 이 방법으로 가장 큰 상자, 가장 싼 물탱크 같은 실제 문제를 풀 수 있습니다.
• 매개변수가 있는 방정식과 부등식 – 매개변수는 a처럼 '하나로 정해져 있지만 아직 모르는 수'를 나타내는 문자예요. 우리는 "a가 어떤 값일 때 해가 0개, 1개, 2개 또는 그 이상일까?"를 물어요. 그래프 방법에서는 방정식을 f(x) = a 꼴로 쓰고, 곡선 y = f(x) 위로 가로선 y = a를 위아래로 움직여요.
• 문자와 식: 변수, 항, 그리고 식 간단히 하기 – 문자와 식은 문자(변수)와 숫자를 +, −, ×, ÷로 이어 놓은 것이에요. 예를 들어 3x + 2가 있어요. 변수는 값이 바뀔 수 있는 수를 나타내는 문자예요. 식은 항으로 이루어져요(3x와 2). 3x에서 3은 계수이고, 2처럼 문자가 없는 항은 상수항이에요. 동류항은 문자 부분이 완전히 같은 항이고(3x와 5x) 더할 수 있어요. 문자 부분이 다른 항(3x와 2, x와 x²)은 더할 수 없어요. 대입은 문자 자리에 수를 넣어 식의 값을 구하는 것이에요. 전개는 괄호를 푸는 것이고 a(b + c) = ab + ac예요. 인수분해는 그 반대로, 공통인수를 묶어 내는 것이에요. 공식은 어떤 양을 다른 양으로 구하게 해 주는 식이고, 항등식은 문자에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 식이에요.
• 문장제: 대수로 풀어 보자 – 문장제는 숫자 하나가 숨어 있는 이야기예요. 대수로 푸는 방법은 네 단계예요. 모르는 수에 문자 이름 붙이기, 이야기를 식으로 바꾸기, 식 풀기, 답이 이야기에 맞는지 검산하기. 이 네 단계는 수, 나이, 속력, 일의 양, 도형 문제는 물론 미지수가 두 개이거나 이차방정식이 필요한 문제에도 똑같이 쓸 수 있어요.
• 복소수와 이차방정식 – x² + 1 = 0 같은 방정식은 실수 해가 없어요. 제곱해서 음수가 되는 실수는 없기 때문이에요. 그래서 i² = −1인 새로운 수 i를 만들어요. 복소수는 z = a + ib 꼴이고, a는 실수부분, b는 허수부분이에요. 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈은 문자식처럼 계산하되 i²는 −1로 바꿔요. 나눌 때는 분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱해요. 복소평면에서 z = a + ib는 점 (a, b)예요. 켤레복소수 a − ib는 실수축에 대해 대칭인 점이고, 절댓값 √(a² + b²)는 원점에서 그 점까지의 거리예요. D = b² − 4ac < 0인 이차방정식 ax² + bx + c = 0은 서로 켤레인 두 복소수 해를 가져요.
• 연립방정식과 동치인 연립방정식 – 연립방정식은 여러 방정식이 모두 동시에 참이어야 하는 묶음입니다. 두 연립방정식의 해가 정확히 같으면 서로 동치라고 합니다. 두 식의 순서를 바꾸기, 한 식에 0이 아닌 수를 곱하기, 한 식에 다른 식의 배수를 더하기는 모두 동치를 유지합니다. 그래서 답을 잃지 않고 식을 더 간단하게 만들 수 있습니다.
• 연속과 미분가능성 – 함수의 그래프가 어떤 점에서 끊기지 않으면 그 점에서 연속입니다. 즉 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 합니다. 도함수는 접선의 기울기입니다. 합성함수 미분법, 음함수 미분, eˣ·ln x·역삼각함수의 미분 공식, 로그미분법, 매개변수 미분을 알면 고등학교 수준의 거의 모든 함수를 미분할 수 있습니다. 이계도함수는 기울기 자체가 어떻게 변하는지, 곧 곡선이 어느 쪽으로 휘는지 알려 줍니다.
• 이차곡선: 원, 포물선, 타원, 쌍곡선 – 마주 보는 두 원뿔을 평면으로 자르면 원, 타원, 포물선, 쌍곡선이 나와요. 꼭짓점을 지나게 자르면 점, 직선 하나, 또는 두 직선(퇴화 이차곡선)이 돼요. 원: (x − h)² + (y − k)² = r². 포물선 y² = 4ax: 초점 (a, 0), 준선 x = −a, 정현 길이 4a, e = 1. 타원 x²/a² + y²/b² = 1 (a > b): c² = a² − b², 초점 (±c, 0), e = c/a < 1, 정현 길이 2b²/a, PF₁ + PF₂ = 2a. 쌍곡선 x²/a² − y²/b² = 1: c² = a² + b², e = c/a > 1, 정현 길이 2b²/a, |PF₁ − PF₂| = 2a.
• 이차삼항식의 인수분해 – x² + 5x + 6 같은 이차삼항식은 두 괄호의 곱 (x + 2)(x + 3)으로 쓸 수 있어요. x² + bx + c는 곱해서 c, 더해서 b가 되는 두 수를 찾으면 돼요. ax² + bx + c는 곱해서 a × c, 더해서 b가 되는 두 수를 찾아 가운뎃항을 쪼갠 뒤 공통인수로 묶어요. 마지막엔 꼭 전개해서 확인해요.
• 입체도형: 면, 모서리, 꼭짓점, 전개도, 투상도 – 입체도형은 가로, 세로, 높이가 있어서 공간을 차지해요. 면(평평하거나 굽은 겉면), 모서리(두 면이 만나는 선), 꼭짓점(뾰족한 점)의 수를 세어 입체도형을 설명해요. 각기둥은 서로 같은 두 밑면을 직사각형이 이어 주고, 각뿔은 밑면 하나와 꼭대기 한 점에서 만나는 삼각형으로 이루어져요. 원기둥, 원뿔, 구는 굽은 면이 있어요. 전개도는 입체도형을 펼쳐 놓은 평면 그림이에요. 위, 앞, 옆에서 보면 세 가지 투상도가 나와요. 평평한 면으로만 된 입체도형은 면의 수 + 꼭짓점의 수 − 모서리의 수 = 2 (오일러 공식)가 항상 성립해요.
• 절댓값과 구간 – 절댓값 |x|는 수직선에서 x가 0으로부터 떨어진 거리이므로 절대 음수가 아닙니다. |x - a|는 x와 a 사이의 거리입니다. |x - a| = b를 풀면 x = a + b 또는 x = a - b가 나옵니다. 구간은 수직선의 한 부분이며, 둥근 괄호는 끝점을 포함하지 않고 대괄호는 끝점을 포함합니다.
• 조건부확률, 곱셈정리, 독립사건 – 조건부확률은 B가 이미 일어났다는 것을 알 때 A가 일어날 확률입니다. B 밖의 결과는 모두 버리고 다시 세면 됩니다: P(A|B) = P(A ∩ B) ÷ P(B). 이 식을 거꾸로 쓰면 곱셈정리 P(A ∩ B) = P(B)·P(A|B)가 됩니다. B를 알아도 A의 확률이 변하지 않으면 두 사건은 독립이고, 이때 P(A ∩ B) = P(A)·P(B)입니다.
• 좌표기하: 두 점 사이의 거리와 내분점 공식 – 평평한 면 위의 모든 점에는 (x, y)라는 주소가 있습니다. A(x₁, y₁)와 B(x₂, y₂) 사이의 거리는 d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]입니다. x 방향 차이와 y 방향 차이에 피타고라스 정리를 쓴 것뿐입니다. 선분 AB를 m : n으로 안쪽에서 나누는 점 P는 P = ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n))입니다. m = n이면 P는 중점입니다.
• 지수부등식, 로그부등식, 무리부등식 – 세 가지 부등식은 모두 같은 생각을 써요. 두 그래프를 비교하는 거예요. 지수와 로그에서는 밑이 부등호의 방향을 정해요(밑이 1보다 크면 그대로, 0과 1 사이면 뒤집어요). 로그와 무리식에서는 먼저 정의역을 확인해야 하고, 무리부등식은 반대쪽 식의 부호도 조심해야 해요.
• 함수의 성질 알아보기: 주기, 증가와 감소, 극값, 구간에서의 최댓값과 최솟값 – 함수를 살펴볼 때는 네 가지를 물어봐요. 그래프가 되풀이되는가(f(x + T) = f(x)를 만족하는 주기 T)? 어디에서 올라가고 어디에서 내려가는가(기울기의 부호)? 어디에서 꺾이는가(기울기가 0인 곳, 극대 또는 극소)? 그리고 정한 구간 [a, b]에서 가장 큰 값과 가장 작은 값은 무엇인가(양 끝점과 구간 안의 꺾이는 점을 확인)?
• 합성함수의 그래프와 방정식이 그리는 도형 – 괄호 안을 바꾸면 그래프가 좌우로 움직이고, 괄호 밖을 바꾸면 위아래로 움직이거나 뒤집힙니다. |f(x)|는 x축 아래 부분을 위로 접어 올리고, f(|x|)는 오른쪽 절반을 왼쪽에 거울처럼 복사합니다. x와 y로 이루어진 방정식도 원이나 마름모 같은 그림을 그립니다. 모든 수직선이 그림과 딱 한 번만 만날 때만 함수의 그래프가 됩니다.