변수와 상수
변수는 수를 대신하는 문자(x, y, n, a…)예요. 값이 바뀔 수 있어요. 상수는 5나 −2처럼 값이 정해져 있는 수예요.
왜 문자를 쓸까요? 문자를 쓰면 규칙 하나로 여러 수를 다룰 수 있어요. "정사각형의 한 변이 s"라고 하면 둘레는 어떤 정사각형이든 4s예요. s = 3 cm이면 12 cm, s = 10 cm이면 40 cm예요.
문자와 식(대수식)은 변수와 상수를 +, −, ×, ÷로 이은 것이에요. 예: 3x + 2, 5a − 4b, x² + 7, n/2. 식에는 등호가 없어요. 등호가 있으면 방정식이에요(3x + 2 = 14).
쓰는 규칙: 3 × x는 3x로 써요(수를 앞에 쓰고 × 기호는 생략). x × x는 x²이고, 1x는 그냥 x예요.
항, 계수, 그리고 식의 종류
식에서 + 또는 −로 이어진 각 부분을 항이라고 해요. 4x² − 3x + 7의 항은 4x², −3x, 7이에요. 앞에 붙은 부호도 그 항의 일부예요.
- 계수: 항에서 수 부분이에요. −3x의 계수는 −3이고, x²의 계수는 1이에요.
- 상수항: 문자가 없는 항이에요(7).
- 항의 인수: 4x² = 4 × x × x.
항의 개수에 따른 이름
- 단항식: 항이 1개(5y)
- 이항식: 항이 2개(3x + 2)
- 삼항식: 항이 3개(x² + 2x + 1)
- 다항식: 차수가 0 이상의 정수인 항이 하나 이상 있는 식
식의 구조 읽기
식을 블록처럼 보세요. 5(x + 2)²에서 (x + 2) 전체가 한 블록이고, 이 블록을 제곱한 다음 5를 곱해요. 블록을 알아보면 무엇부터 계산할지 알 수 있고, 예를 들어 값이 절대 음수가 되지 않는다는 것도 알아챌 수 있어요.
동류항과 식 간단히 하기
동류항은 문자와 그 차수가 완전히 같은 항이에요. 3x와 −5x, 2ab와 7ab, 4y²과 y²이 그래요. 동류항이 아닌 항은 달라요. 3x와 3y, x와 x², x와 5가 그래요.
동류항을 더하거나 빼려면 계수끼리 더하거나 빼고 문자 부분은 그대로 써요. 7x + 2x = 9x, 5ab − 8ab = −3ab예요. 동류항이 아니면 따로 남아요. 3x + 4는 7x가 될 수 없어요.
간단히 하기는 동류항을 모으는 거예요. 2x + 3 + x + 1 = (2x + x) + (3 + 1) = 3x + 4. 두 식은 같은 식이에요. x에 어떤 값을 넣어도 값이 같기 때문이에요.
항끼리 곱하기
수끼리 곱하고, 그다음 문자끼리 곱해요. 3x × 4y = 12xy, 2a × 5a = 10a², (−3m) × 2m² = −6m³.
대입: 식의 값 구하기
식의 값을 구하려면 각 문자를 그 수로 바꾸고 계산 순서(괄호, 거듭제곱, × 와 ÷, 그다음 + 와 −)대로 계산해요.
예: a = 3, b = −2일 때 2a² − 3b는 2 × 3² − 3 × (−2) = 2 × 9 + 6 = 24예요.
공식은 여러 양의 관계를 나타내는 등식이에요. 직사각형의 넓이 A = lw, 속력 v = d/t, 단리 이자 I = PRT/100 같은 것들이에요. 오른쪽 식에 수를 넣으면 왼쪽 값을 얻어요. 공식을 바꿔서 다른 문자를 주인공으로 만들 수도 있어요. v = d/t에서 d = vt를 얻어요.
괄호 전개와 인수분해
전개는 분배법칙 a(b + c) = ab + ac를 써요. 바깥에 있는 항을 안에 있는 모든 항에 곱해요. 3(x + 2) = 3x + 6, −2(y − 5) = −2y + 10, x(x + 4) = x² + 4x예요.
3D에서 3(x + 2)는 세로 3, 가로 x + 2인 직사각형이고, 넓이는 3x + 6이에요.
인수분해는 그 반대예요. 모든 항의 최대공약수(공통인수)를 찾아 밖으로 묶어요. 6x + 9 = 3(2x + 3), 4a² − 10a = 2a(2a − 5)예요. 다시 전개해서 맞는지 확인해 보세요.
항등식
항등식은 문자에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 식이에요. 예를 들어 2(x + 3) = 2x + 6, (a + b)² = a² + 2ab + b²예요. 2x = 6 같은 방정식은 x = 3일 때만 성립해요. 항등식은 "곱셈 공식" 수업에서 더 깊이 배워요.
집에서 해 보기: 타일로 하는 대수
x는 종이 띠(예: 6 cm), 1은 작은 정사각형(1 cm)으로 잘라 보세요. 2x + 3 + x + 1을 늘어놓고 같은 조각끼리 붙여 보세요. 세어 보면 띠 3개와 정사각형 4개예요. 이번에는 "띠 한 개 + 정사각형 두 개"를 3줄 놓으면 3(x + 2) = 3x + 6을 눈으로 볼 수 있어요. 3D 자유 실험 단계에서는 a와 b를 정하고, 보기 전에 전개한 모양을 먼저 예상해 보세요.
핵심 공식과 정의
- 항 = 계수 × 문자 부분, 예: −3x²의 계수는 −3
- 동류항: ax + bx = (a + b)x
- 분배법칙: a(b + c) = ab + ac; a(b − c) = ab − ac
- 인수분해: ab + ac = a(b + c) (최대공약수를 묶어 냄)
- x × x = x²; xᵃ × xᵇ = xᵃ⁺ᵇ
- 항등식: 모든 값에서 성립, 방정식: 어떤 값에서만 성립
풀이 예제
1. 5y² − 7y + 4의 항과 y의 계수를 쓰세요.
항: 5y², −7y, 4. y의 계수 = −7 (부호도 함께 가져가요). 상수항 = 4.
2. 4a + 3b − a + 5b − 2를 간단히 하세요.
동류항끼리 묶어요: (4a − a) + (3b + 5b) − 2 = 3a + 8b − 2.
3. x = 4일 때 3x + 2의 값을 구하세요.
3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14.
4. p = −2, q = 5일 때 2p² − 3q의 값을 구하세요.
p² = (−2)² = 4. 그러므로 2 × 4 − 3 × 5 = 8 − 15 = −7.
5. 3(2x + 1) − 2(x − 4)를 전개하여 간단히 하세요.
3(2x + 1) = 6x + 3; −2(x − 4) = −2x + 8. 더하면: 6x − 2x + 3 + 8 = 4x + 11.
6. 12m² − 18m을 인수분해하세요.
12와 18의 최대공약수는 6이고, 두 항 모두 m이 있어요. 그래서 12m² − 18m = 6m(2m − 3). 확인: 6m × 2m = 12m², 6m × 3 = 18m. ✓
7. 택시 요금이 기본 ₹50에 1km당 ₹12예요. d km의 요금을 식으로 나타내고, 15 km일 때의 요금을 구하세요.
요금 = 50 + 12d. d = 15일 때: 50 + 180 = ₹230.
자주 하는 실수
- 동류항이 아닌 항을 더하기: 3x + 4는 7x가 아니에요. 동류항끼리만 합칠 수 있어요.
- 부호 빼먹기: 5 − 2x에서 x의 계수는 2가 아니라 −2예요.
- 첫 번째 항에만 곱하기: 3(x + 2)는 3x + 2가 아니라 3x + 6이에요.
- 음수의 제곱 실수: x = −3이면 x² = 9예요(−9가 아니에요). 괄호를 써서 (−3)²으로 쓰세요.