Variáveis e constantes
Uma variável é uma letra (x, y, n, a…) que representa um número. Seu valor pode mudar. Uma constante é um número de valor fixo, como 5 ou −2.
Por que usar letras? Com uma letra, escrevemos uma regra só para vários números. "Um quadrado tem lado s" dá o perímetro 4s para qualquer quadrado: s = 3 cm dá 12 cm, s = 10 cm dá 40 cm.
Uma expressão algébrica junta variáveis e constantes com +, −, × ou ÷. Exemplos: 3x + 2, 5a − 4b, x² + 7, n/2. Uma expressão não tem sinal de igual; uma equação tem (3x + 2 = 14).
Regras de escrita: 3 × x se escreve 3x (número primeiro, sem o sinal ×); x × x é x²; 1x é só x.
Termos, coeficientes e tipos de expressões
As partes de uma expressão ligadas por + ou − são os termos. Em 4x² − 3x + 7 os termos são 4x², −3x e 7. O sinal que vem na frente faz parte do termo.
- Coeficiente: a parte numérica do termo. Em −3x é −3. Em x² é 1.
- Termo constante: um termo sem letra (7).
- Fatores de um termo: 4x² = 4 × x × x.
Nome conforme o número de termos
- Monômio: um termo (5y)
- Binômio: dois termos (3x + 2)
- Trinômio: três termos (x² + 2x + 1)
- Polinômio: um ou mais termos com expoentes inteiros
Lendo a estrutura
Olhe a expressão como blocos. Em 5(x + 2)², o (x + 2) inteiro é um bloco que é elevado ao quadrado e depois multiplicado por 5. Ver os blocos mostra o que fazer primeiro e ajuda a perceber, por exemplo, que o valor nunca é negativo.
Termos semelhantes e simplificação
Termos semelhantes têm exatamente as mesmas letras com os mesmos expoentes: 3x e −5x; 2ab e 7ab; 4y² e y². Termos não semelhantes são diferentes: 3x e 3y; x e x²; x e 5.
Para somar ou subtrair termos semelhantes, some ou subtraia os coeficientes e mantenha a parte literal: 7x + 2x = 9x; 5ab − 8ab = −3ab. Termos não semelhantes ficam separados: 3x + 4 não pode virar 7x.
Simplificar = juntar os termos semelhantes. 2x + 3 + x + 1 = (2x + x) + (3 + 1) = 3x + 4. As duas formas são equivalentes: dão o mesmo valor para qualquer x.
Multiplicando termos
Multiplique os números e depois as letras: 3x × 4y = 12xy; 2a × 5a = 10a²; (−3m) × 2m² = −6m³.
Substituição: achando o valor
Para achar o valor de uma expressão, troque cada letra pelo seu número e calcule seguindo a ordem das operações (parênteses, potências, × e ÷, depois + e −).
Exemplo: 2a² − 3b quando a = 3, b = −2: 2 × 3² − 3 × (−2) = 2 × 9 + 6 = 24.
Uma fórmula é uma igualdade que liga grandezas: área do retângulo A = lw; velocidade v = d/t; juros simples I = PRT/100. Coloque os números no lado direito para obter o lado esquerdo. Você também pode reorganizar a fórmula para isolar outra letra: de v = d/t chegamos a d = vt.
Expandir parênteses e fatorar
Expandir usa a propriedade distributiva: a(b + c) = ab + ac. O termo de fora multiplica todos os termos de dentro. 3(x + 2) = 3x + 6; −2(y − 5) = −2y + 10; x(x + 4) = x² + 4x.
No 3D, 3(x + 2) é um retângulo com 3 unidades de altura e x + 2 de comprimento: a área dele é 3x + 6.
Fatorar é o caminho inverso: ache o maior fator comum de todos os termos e coloque-o em evidência. 6x + 9 = 3(2x + 3); 4a² − 10a = 2a(2a − 5). Confira expandindo de volta.
Identidades
Uma identidade é verdadeira para qualquer valor das letras, por exemplo 2(x + 3) = 2x + 6, ou (a + b)² = a² + 2ab + b². Uma equação como 2x = 6 só é verdadeira para x = 3. As identidades são estudadas com mais calma na lição sobre identidades algébricas.
Experimente: álgebra com peças em casa
Corte tiras de papel para o x (digamos, 6 cm) e quadradinhos para o 1 (1 cm). Monte 2x + 3 + x + 1 e depois junte as peças iguais. Conte: 3 tiras e 4 quadradinhos. Agora monte 3 fileiras de "uma tira + dois quadradinhos" para ver que 3(x + 2) = 3x + 6. Na etapa de brincadeira livre do 3D, escolha a e b e tente prever a forma expandida antes de olhar.
Fórmulas e definições principais
- Termo = coeficiente × parte literal, por exemplo −3x² tem coeficiente −3
- Termos semelhantes: ax + bx = (a + b)x
- Propriedade distributiva: a(b + c) = ab + ac; a(b − c) = ab − ac
- Fatoração: ab + ac = a(b + c) (colocar o MDC em evidência)
- x × x = x²; xᵃ × xᵇ = xᵃ⁺ᵇ
- Identidade: vale para todos os valores; equação: vale só para alguns valores
Exemplos resolvidos
1. Escreva os termos e o coeficiente de y em 5y² − 7y + 4.
Termos: 5y², −7y, 4. Coeficiente de y = −7 (o sinal vai junto). Constante = 4.
2. Simplifique 4a + 3b − a + 5b − 2.
Agrupe os termos semelhantes: (4a − a) + (3b + 5b) − 2 = 3a + 8b − 2.
3. Ache o valor de 3x + 2 quando x = 4.
3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14.
4. Ache o valor de 2p² − 3q quando p = −2 e q = 5.
p² = (−2)² = 4. Então 2 × 4 − 3 × 5 = 8 − 15 = −7.
5. Expanda e simplifique 3(2x + 1) − 2(x − 4).
3(2x + 1) = 6x + 3; −2(x − 4) = −2x + 8. Some: 6x − 2x + 3 + 8 = 4x + 11.
6. Fatore 12m² − 18m.
O MDC de 12 e 18 é 6; os dois termos têm m. Então 12m² − 18m = 6m(2m − 3). Confira: 6m × 2m = 12m², 6m × 3 = 18m. ✓
7. Um táxi cobra ₹50 fixos mais ₹12 por km. Escreva uma expressão para o preço de d km e calcule para 15 km.
Preço = 50 + 12d. Para d = 15: 50 + 180 = ₹230.
Erros comuns
- Somar termos não semelhantes: 3x + 4 NÃO é 7x. Só termos semelhantes se juntam.
- Esquecer o sinal: em 5 − 2x o coeficiente de x é −2, não 2.
- Multiplicar só o primeiro termo: 3(x + 2) é 3x + 6, não 3x + 2.
- Errar o quadrado de um número negativo: quando x = −3, x² = 9 (não −9); use parênteses (−3)².