変数と定数
変数とは、数を表す文字（x, y, n, a…）のことです。値は変わることがあります。定数は、5 や −2 のように値が決まっている数です。
なぜ文字を使うのでしょう。文字を使うと、1つのきまりでたくさんの数を表せるからです。「1辺が s の正方形」なら、周の長さはどの正方形でも 4s。s = 3 cm なら 12 cm、s = 10 cm なら 40 cm です。
文字式は、変数と定数を +、−、×、÷ でつないだものです。例：3x + 2、5a − 4b、x² + 7、n/2。文字式には等号がありません。等号があるのは方程式です（3x + 2 = 14）。
書き方のきまり：3 × x は 3x（数を先に書き、× は書かない）。x × x は x²。1x は x とだけ書きます。
項、係数、式の種類
式の中で + や − でつながれた部分を項といいます。4x² − 3x + 7 の項は 4x²、−3x、7 です。前についた符号も項の一部です。
- 係数：項の数の部分。−3x の係数は −3、x² の係数は 1 です。
- 定数項：文字のない項（7）。
- 項の因数：4x² = 4 × x × x。
項の数による呼び方
- 単項式：項が1つ（5y）
- 二項式：項が2つ（3x + 2）
- 三項式：項が3つ（x² + 2x + 1）
- 多項式：指数が整数の項が1つ以上ある式
式の構造を読む
式をブロックの組み合わせとして見ましょう。5(x + 2)² では、(x + 2) 全体が1つのブロックで、それを2乗してから5倍します。ブロックが見えると、何から計算するかが分かり、たとえば値が決してマイナスにならないことにも気づけます。
同類項とまとめ方
同類項とは、文字も指数もまったく同じ項です：3x と −5x、2ab と 7ab、4y² と y²。同類項でない項は、3x と 3y、x と x²、x と 5 のように違いがあります。
同類項の足し算・引き算は、係数どうしを計算して文字の部分はそのままにします：7x + 2x = 9x、5ab − 8ab = −3ab。同類項でない項は別々のまま。3x + 4 を 7x にはできません。
式を簡単にするとは、同類項をまとめることです。2x + 3 + x + 1 = (2x + x) + (3 + 1) = 3x + 4。この2つの形は同じ値になる式で、x がどんな値でも結果は同じです。
項どうしのかけ算
数どうし、文字どうしをかけます：3x × 4y = 12xy、2a × 5a = 10a²、(−3m) × 2m² = −6m³。
代入：式の値を求める
式の値を求めるには、それぞれの文字を数に置きかえて、計算の順序（かっこ、累乗、× と ÷、最後に + と −）に従って計算します。
例：a = 3、b = −2 のときの 2a² − 3b は、2 × 3² − 3 × (−2) = 2 × 9 + 6 = 24 です。
公式は、いくつかの量の関係を表す等式です。長方形の面積 A = lw、速さ v = d/t、単利の利息 I = PRT/100 など。右辺に数を入れると左辺が求まります。公式を変形して、別の文字を求める形にもできます。v = d/t から d = vt となります。
かっこの展開と因数分解
展開には分配法則を使います：a(b + c) = ab + ac。外の項を、中のすべての項にかけます。3(x + 2) = 3x + 6、−2(y − 5) = −2y + 10、x(x + 4) = x² + 4x。
3Dでは、3(x + 2) は縦3、横 x + 2 の長方形で、面積は 3x + 6 です。
因数分解はその逆で、すべての項の最大公約数（共通因数）を見つけて外に出します。6x + 9 = 3(2x + 3)、4a² − 10a = 2a(2a − 5)。展開してもとにもどれば、答えの確かめになります。
恒等式
恒等式は、文字がどんな値でも成り立つ式です。たとえば 2(x + 3) = 2x + 6 や (a + b)² = a² + 2ab + b²。2x = 6 のような方程式は x = 3 のときだけ成り立ちます。恒等式は、別のレッスン「乗法公式（代数の恒等式）」でくわしく学びます。
おうちでやってみよう：タイルで代数
x 用に紙の細長い帯（たとえば 6 cm）、1 用に小さな正方形（1 cm）を切ります。2x + 3 + x + 1 を並べ、同じ種類を寄せ集めてみましょう。帯が3本、正方形が4枚になります。次に「帯1本と正方形2枚」を3列並べると、3(x + 2) = 3x + 6 が目で見えます。3Dの自由に遊ぶステップで a と b を決め、見る前に展開した形を予想してみよう。
重要な公式と用語
- 項 = 係数 × 文字の部分。例：−3x² の係数は −3
- 同類項：ax + bx = (a + b)x
- 分配法則：a(b + c) = ab + ac; a(b − c) = ab − ac
- 因数分解：ab + ac = a(b + c)（共通因数をくくり出す）
- x × x = x²; xᵃ × xᵇ = xᵃ⁺ᵇ
- 恒等式：すべての値で成り立つ。方程式：ある値でだけ成り立つ
例題
1. 5y² − 7y + 4 の項をすべて書き、y の係数を答えなさい。
項：5y²、−7y、4。y の係数は −7（符号もいっしょ）。定数項は 4。
2. 4a + 3b − a + 5b − 2 を簡単にしなさい。
同類項を集める：(4a − a) + (3b + 5b) − 2 = 3a + 8b − 2。
3. x = 4 のとき、3x + 2 の値を求めなさい。
3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14。
4. p = −2、q = 5 のとき、2p² − 3q の値を求めなさい。
p² = (−2)² = 4。よって 2 × 4 − 3 × 5 = 8 − 15 = −7。
5. 3(2x + 1) − 2(x − 4) を展開して簡単にしなさい。
3(2x + 1) = 6x + 3、−2(x − 4) = −2x + 8。たす：6x − 2x + 3 + 8 = 4x + 11。
6. 12m² − 18m を因数分解しなさい。
12 と 18 の最大公約数は 6、どちらの項にも m がある。よって 12m² − 18m = 6m(2m − 3)。確かめ：6m × 2m = 12m²、6m × 3 = 18m。✓
7. タクシーの料金は、基本料金50ルピーに1kmあたり12ルピーが加わる。d km の料金を表す式を書き、15 km のときの料金を求めなさい。
料金 = 50 + 12d。d = 15 のとき：50 + 180 = 230ルピー。
よくある間違い
- 同類項でない項を足してしまう：3x + 4 は 7x ではありません。まとめられるのは同類項だけです。
- 符号を忘れる：5 − 2x の x の係数は 2 ではなく −2 です。
- 最初の項だけにかける：3(x + 2) は 3x + 6 で、3x + 2 ではありません。
- 負の数の2乗をまちがえる：x = −3 のとき x² = 9 です（−9 ではない）。かっこをつけて (−3)² と書きましょう。