Variables y constantes
Una variable es una letra (x, y, n, a…) que representa un número. Su valor puede cambiar. Una constante es un número de valor fijo, como 5 o −2.
¿Por qué usar letras? Una letra nos deja escribir una sola regla para muchos números. "Un cuadrado tiene lado s" da el perímetro 4s para todos los cuadrados: s = 3 cm da 12 cm, s = 10 cm da 40 cm.
Una expresión algebraica une variables y constantes con +, −, × o ÷. Ejemplos: 3x + 2, 5a − 4b, x² + 7, n/2. Una expresión no tiene signo igual; una ecuación sí (3x + 2 = 14).
Reglas de escritura: 3 × x se escribe 3x (número primero, sin signo ×); x × x es x²; 1x es simplemente x.
Términos, coeficientes y tipos de expresiones
Las partes de una expresión unidas por + o − son sus términos. En 4x² − 3x + 7 los términos son 4x², −3x y 7. El signo de adelante pertenece al término.
- Coeficiente: la parte numérica de un término. En −3x es −3. En x² es 1.
- Término constante: un término sin letra (7).
- Factores de un término: 4x² = 4 × x × x.
Nombres según el número de términos
- Monomio: un término (5y)
- Binomio: dos términos (3x + 2)
- Trinomio: tres términos (x² + 2x + 1)
- Polinomio: uno o más términos con potencias enteras
Cómo leer la estructura
Mira una expresión como bloques. En 5(x + 2)², todo (x + 2) es un bloque que se eleva al cuadrado y luego se multiplica por 5. Ver los bloques te dice qué hacer primero y te ayuda a notar, por ejemplo, que el valor nunca es negativo.
Términos semejantes y simplificación
Los términos semejantes tienen exactamente las mismas letras con las mismas potencias: 3x y −5x; 2ab y 7ab; 4y² y y². Los términos no semejantes son distintos: 3x y 3y; x y x²; x y 5.
Para sumar o restar términos semejantes, suma o resta los coeficientes y deja la parte con letras igual: 7x + 2x = 9x; 5ab − 8ab = −3ab. Los términos no semejantes quedan separados: 3x + 4 no puede ser 7x.
Simplificar = juntar los términos semejantes. 2x + 3 + x + 1 = (2x + x) + (3 + 1) = 3x + 4. Las dos formas son equivalentes: dan el mismo valor para cualquier x.
Multiplicar términos
Multiplica los números y luego las letras: 3x × 4y = 12xy; 2a × 5a = 10a²; (−3m) × 2m² = −6m³.
Sustitución: hallar el valor
Para hallar el valor de una expresión, cambia cada letra por su número y calcula con el orden de las operaciones (paréntesis, potencias, × y ÷, luego + y −).
Ejemplo: 2a² − 3b cuando a = 3, b = −2: 2 × 3² − 3 × (−2) = 2 × 9 + 6 = 24.
Una fórmula es una ecuación que relaciona cantidades: área del rectángulo A = lw; rapidez v = d/t; interés simple I = PRT/100. Pon los números en el lado derecho para obtener el lado izquierdo. También puedes reordenar una fórmula para despejar otra letra: de v = d/t sale d = vt.
Expandir paréntesis y factorizar
Expandir usa la propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac. El término de afuera multiplica a todos los términos de adentro. 3(x + 2) = 3x + 6; −2(y − 5) = −2y + 10; x(x + 4) = x² + 4x.
En el 3D, 3(x + 2) es un rectángulo de 3 unidades de alto y x + 2 de largo: su área es 3x + 6.
Factorizar es lo contrario: busca el máximo común divisor de todos los términos y sácalo afuera. 6x + 9 = 3(2x + 3); 4a² − 10a = 2a(2a − 5). Comprueba expandiendo de vuelta.
Identidades
Una identidad es verdadera para cualquier valor de las letras, por ejemplo 2(x + 3) = 2x + 6, o (a + b)² = a² + 2ab + b². Una ecuación como 2x = 6 solo es verdadera para x = 3. Las identidades se estudian más a fondo en la lección sobre identidades algebraicas.
Pruébalo: álgebra con fichas en casa
Corta tiras de papel para x (por ejemplo 6 cm) y cuadraditos para el 1 (1 cm). Arma 2x + 3 + x + 1 y luego junta las piezas iguales. Cuenta: 3 tiras y 4 cuadrados. Ahora pon 3 filas de "una tira + dos cuadrados" para ver que 3(x + 2) = 3x + 6. En el paso de juego libre del 3D, elige a y b y adivina la forma expandida antes de mirar.
Fórmulas y definiciones clave
- Término = coeficiente × parte con letras, p. ej. −3x² tiene coeficiente −3
- Términos semejantes: ax + bx = (a + b)x
- Propiedad distributiva: a(b + c) = ab + ac; a(b − c) = ab − ac
- Factorizar: ab + ac = a(b + c) (sacar el factor común)
- x × x = x²; xᵃ × xᵇ = xᵃ⁺ᵇ
- Identidad: verdadera para todos los valores; ecuación: verdadera para algunos valores
Ejemplos resueltos
1. Escribe los términos y el coeficiente de y en 5y² − 7y + 4.
Términos: 5y², −7y, 4. Coeficiente de y = −7 (el signo va con él). Constante = 4.
2. Simplifica 4a + 3b − a + 5b − 2.
Agrupa los términos semejantes: (4a − a) + (3b + 5b) − 2 = 3a + 8b − 2.
3. Halla el valor de 3x + 2 cuando x = 4.
3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14.
4. Halla el valor de 2p² − 3q cuando p = −2 y q = 5.
p² = (−2)² = 4. Entonces 2 × 4 − 3 × 5 = 8 − 15 = −7.
5. Expande y simplifica 3(2x + 1) − 2(x − 4).
3(2x + 1) = 6x + 3; −2(x − 4) = −2x + 8. Suma: 6x − 2x + 3 + 8 = 4x + 11.
6. Factoriza 12m² − 18m.
El máximo común divisor de 12 y 18 es 6; ambos términos tienen m. Así 12m² − 18m = 6m(2m − 3). Comprobación: 6m × 2m = 12m², 6m × 3 = 18m. ✓
7. Un taxi cobra ₹50 fijos más ₹12 por km. Escribe una expresión para la tarifa de d km y calcúlala para 15 km.
Tarifa = 50 + 12d. Para d = 15: 50 + 180 = ₹230.
Errores comunes
- Sumar términos no semejantes: 3x + 4 NO es 7x. Solo se unen los términos semejantes.
- Olvidar el signo: en 5 − 2x el coeficiente de x es −2, no 2.
- Multiplicar solo el primer término: 3(x + 2) es 3x + 6, no 3x + 2.
- Elevar mal un número negativo: si x = −3, x² = 9 (no −9); usa paréntesis (−3)².