Variabelen en constanten
Een variabele is een letter (x, y, n, a…) die voor een getal staat. De waarde kan veranderen. Een constante is een getal met een vaste waarde, zoals 5 of −2.
Waarom letters? Met een letter schrijf je één regel voor veel getallen. "Een vierkant heeft zijde s" geeft omtrek 4s voor elk vierkant: s = 3 cm geeft 12 cm, s = 10 cm geeft 40 cm.
Een algebraïsche uitdrukking verbindt variabelen en constanten met +, −, × of ÷. Voorbeelden: 3x + 2, 5a − 4b, x² + 7, n/2. Een uitdrukking heeft geen gelijkteken; een vergelijking wel (3x + 2 = 14).
Schrijfregels: 3 × x schrijf je als 3x (getal eerst, geen ×-teken); x × x is x²; 1x is gewoon x.
Termen, coëfficiënten en soorten uitdrukkingen
De delen van een uitdrukking die met + of − aan elkaar hangen, zijn de termen. In 4x² − 3x + 7 zijn de termen 4x², −3x en 7. Het teken ervoor hoort bij de term.
- Coëfficiënt: het getal in een term. In −3x is dat −3. In x² is het 1.
- Constante term: een term zonder letter (7).
- Factoren van een term: 4x² = 4 × x × x.
Namen naar aantal termen
- Monomium: één term (5y)
- Binomium: twee termen (3x + 2)
- Trinomium: drie termen (x² + 2x + 1)
- Veelterm: een of meer termen met gehele machten
De structuur lezen
Kijk naar een uitdrukking als naar blokken. In 5(x + 2)² is het geheel (x + 2) één blok dat in het kwadraat gaat en daarna keer 5 wordt gedaan. Als je de blokken ziet, weet je wat je eerst moet doen en zie je bijvoorbeeld dat de waarde nooit negatief is.
Gelijksoortige termen en vereenvoudigen
Gelijksoortige termen hebben precies dezelfde letters met dezelfde machten: 3x en −5x; 2ab en 7ab; 4y² en y². Ongelijksoortige termen verschillen: 3x en 3y; x en x²; x en 5.
Om gelijksoortige termen op te tellen of af te trekken, tel je de coëfficiënten op of trek je ze af en houd je het lettergedeelte: 7x + 2x = 9x; 5ab − 8ab = −3ab. Ongelijksoortige termen blijven apart: 3x + 4 wordt geen 7x.
Vereenvoudigen = gelijksoortige termen samennemen. 2x + 3 + x + 1 = (2x + x) + (3 + 1) = 3x + 4. De twee vormen zijn gelijkwaardig: ze geven voor elke x dezelfde waarde.
Termen vermenigvuldigen
Vermenigvuldig eerst de getallen, dan de letters: 3x × 4y = 12xy; 2a × 5a = 10a²; (−3m) × 2m² = −6m³.
Invullen: de waarde vinden
Om de waarde van een uitdrukking te vinden, vervang je elke letter door zijn getal en reken je uit met de volgorde van bewerkingen (haakjes, machten, × en ÷, daarna + en −).
Voorbeeld: 2a² − 3b als a = 3, b = −2: 2 × 3² − 3 × (−2) = 2 × 9 + 6 = 24.
Een formule is een gelijkheid die grootheden verbindt: oppervlakte van een rechthoek A = lw; snelheid v = d/t; enkelvoudige rente I = PRT/100. Vul getallen in aan de rechterkant om de linkerkant te krijgen. Je kunt een formule ook omwerken zodat een andere letter alleen staat: uit v = d/t volgt d = vt.
Haakjes uitwerken en ontbinden in factoren
Haakjes uitwerken gebruikt de distributieve eigenschap: a(b + c) = ab + ac. De term buiten de haakjes vermenigvuldigt elke term binnen de haakjes. 3(x + 2) = 3x + 6; −2(y − 5) = −2y + 10; x(x + 4) = x² + 4x.
In de 3D is 3(x + 2) een rechthoek van 3 eenheden hoog en x + 2 lang: de oppervlakte is 3x + 6.
Ontbinden in factoren is het omgekeerde: zoek de grootste gemeenschappelijke factor van alle termen en haal die voor de haakjes. 6x + 9 = 3(2x + 3); 4a² − 10a = 2a(2a − 5). Controleer door weer uit te werken.
Identiteiten
Een identiteit klopt voor elke waarde van de letters, bijvoorbeeld 2(x + 3) = 2x + 6, of (a + b)² = a² + 2ab + b². Een vergelijking als 2x = 6 klopt alleen voor x = 3. Identiteiten komen uitgebreider aan bod in de les over algebraïsche identiteiten.
Probeer het: tegelalgebra thuis
Knip papieren stroken voor x (zeg 6 cm) en kleine vierkantjes voor 1 (1 cm). Leg 2x + 3 + x + 1 neer en schuif de gelijke stukken bij elkaar. Tel: 3 stroken en 4 vierkantjes. Leg nu 3 rijen van "één strook + twee vierkantjes" om te zien dat 3(x + 2) = 3x + 6. Stel in de vrije stap van de 3D a en b in en voorspel de uitgewerkte vorm voordat je kijkt.
Belangrijke formules en begrippen
- Term = coëfficiënt × lettergedeelte, bijv. −3x² heeft coëfficiënt −3
- Gelijksoortige termen: ax + bx = (a + b)x
- Distributieve eigenschap: a(b + c) = ab + ac; a(b − c) = ab − ac
- Ontbinden: ab + ac = a(b + c) (haal de ggd naar buiten)
- x × x = x²; xᵃ × xᵇ = xᵃ⁺ᵇ
- Identiteit: klopt voor alle waarden; vergelijking: klopt voor sommige waarden
Uitgewerkte voorbeelden
1. Schrijf de termen op en geef de coëfficiënt van y in 5y² − 7y + 4.
Termen: 5y², −7y, 4. Coëfficiënt van y = −7 (het teken hoort erbij). Constante = 4.
2. Vereenvoudig 4a + 3b − a + 5b − 2.
Groepeer gelijksoortige termen: (4a − a) + (3b + 5b) − 2 = 3a + 8b − 2.
3. Bereken de waarde van 3x + 2 als x = 4.
3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14.
4. Bereken de waarde van 2p² − 3q als p = −2 en q = 5.
p² = (−2)² = 4. Dus 2 × 4 − 3 × 5 = 8 − 15 = −7.
5. Werk de haakjes uit en vereenvoudig 3(2x + 1) − 2(x − 4).
3(2x + 1) = 6x + 3; −2(x − 4) = −2x + 8. Tel op: 6x − 2x + 3 + 8 = 4x + 11.
6. Ontbind 12m² − 18m in factoren.
De ggd van 12 en 18 is 6; beide termen hebben m. Dus 12m² − 18m = 6m(2m − 3). Controle: 6m × 2m = 12m², 6m × 3 = 18m. ✓
7. Een taxi vraagt een vast bedrag van ₹50 plus ₹12 per km. Schrijf een uitdrukking voor het bedrag voor d km en bereken het voor 15 km.
Bedrag = 50 + 12d. Voor d = 15: 50 + 180 = ₹230.
Veelgemaakte fouten
- Ongelijksoortige termen optellen: 3x + 4 is NIET 7x. Alleen gelijksoortige termen kun je samenvoegen.
- Het teken vergeten: in 5 − 2x is de coëfficiënt van x gelijk aan −2, niet 2.
- Alleen de eerste term vermenigvuldigen: 3(x + 2) is 3x + 6, niet 3x + 2.
- Een negatief getal verkeerd kwadrateren: als x = −3, dan is x² = 9 (niet −9); gebruik haakjes (−3)².