Variablen und Konstanten
Eine Variable ist ein Buchstabe (x, y, n, a …), der für eine Zahl steht. Ihr Wert kann sich ändern. Eine Konstante ist eine Zahl mit festem Wert, zum Beispiel 5 oder −2.
Warum Buchstaben? Mit einem Buchstaben schreiben wir eine Regel für viele Zahlen auf. "Ein Quadrat hat die Seite s" ergibt für jedes Quadrat den Umfang 4s: s = 3 cm gibt 12 cm, s = 10 cm gibt 40 cm.
Ein Term verbindet Variablen und Konstanten mit +, −, · oder :. Beispiele: 3x + 2, 5a − 4b, x² + 7, n/2. Ein Term hat kein Gleichheitszeichen; eine Gleichung hat eines (3x + 2 = 14).
Schreibregeln: 3 · x schreibt man 3x (Zahl zuerst, ohne Malpunkt); x · x ist x²; 1x ist einfach x.
Glieder, Koeffizienten und Arten von Termen
Die Teile eines Terms, die durch + oder − verbunden sind, heißen Glieder. In 4x² − 3x + 7 sind die Glieder 4x², −3x und 7. Das Vorzeichen davor gehört zum Glied.
- Koeffizient: der Zahlenteil eines Glieds. In −3x ist er −3. In x² ist er 1.
- Konstantes Glied: ein Glied ohne Buchstaben (7).
- Faktoren eines Glieds: 4x² = 4 · x · x.
Benennung nach der Zahl der Glieder
- Monom: ein Glied (5y)
- Binom: zwei Glieder (3x + 2)
- Trinom: drei Glieder (x² + 2x + 1)
- Polynom: ein oder mehr Glieder mit ganzzahligen Hochzahlen
Den Aufbau lesen
Sieh dir einen Term als Bausteine an. In 5(x + 2)² ist (x + 2) ein ganzer Block, der quadriert und dann mit 5 multipliziert wird. Wenn du die Blöcke siehst, weißt du, was zuerst zu tun ist, und erkennst zum Beispiel, dass der Wert nie negativ ist.
Gleichartige Glieder und Vereinfachen
Gleichartige Glieder haben genau dieselben Buchstaben mit denselben Hochzahlen: 3x und −5x; 2ab und 7ab; 4y² und y². Ungleichartige Glieder unterscheiden sich: 3x und 3y; x und x²; x und 5.
Gleichartige Glieder addierst oder subtrahierst du, indem du die Koeffizienten addierst oder subtrahierst und den Buchstabenteil beibehältst: 7x + 2x = 9x; 5ab − 8ab = −3ab. Ungleichartige Glieder bleiben getrennt: Aus 3x + 4 wird nie 7x.
Vereinfachen heißt, gleichartige Glieder zusammenzufassen. 2x + 3 + x + 1 = (2x + x) + (3 + 1) = 3x + 4. Beide Formen sind äquivalent: Sie ergeben für jedes x denselben Wert.
Glieder multiplizieren
Multipliziere erst die Zahlen, dann die Buchstaben: 3x · 4y = 12xy; 2a · 5a = 10a²; (−3m) · 2m² = −6m³.
Einsetzen: den Wert bestimmen
Um den Wert eines Terms zu finden, ersetzt du jeden Buchstaben durch seine Zahl und rechnest mit der Reihenfolge der Rechenoperationen (Klammern, Potenzen, Punkt vor Strich).
Beispiel: 2a² − 3b für a = 3, b = −2: 2 · 3² − 3 · (−2) = 2 · 9 + 6 = 24.
Eine Formel ist eine Gleichung, die Größen verbindet: Rechteckfläche A = l · b; Geschwindigkeit v = s/t; einfache Zinsen Z = K · p · t/100. Setze Zahlen auf der rechten Seite ein und du erhältst die linke Seite. Du kannst eine Formel auch umstellen, sodass ein anderer Buchstabe allein steht: Aus v = s/t wird s = v · t.
Klammern ausmultiplizieren und ausklammern
Ausmultiplizieren nutzt das Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac. Der Faktor vor der Klammer multipliziert jedes Glied darin. 3(x + 2) = 3x + 6; −2(y − 5) = −2y + 10; x(x + 4) = x² + 4x.
In der 3D-Szene ist 3(x + 2) ein Rechteck, das 3 Einheiten hoch und x + 2 lang ist: Seine Fläche ist 3x + 6.
Ausklammern ist das Gegenteil: Finde den größten gemeinsamen Teiler aller Glieder und ziehe ihn vor die Klammer. 6x + 9 = 3(2x + 3); 4a² − 10a = 2a(2a − 5). Prüfe, indem du wieder ausmultiplizierst.
Identitäten
Eine Identität stimmt für alle Werte der Buchstaben, zum Beispiel 2(x + 3) = 2x + 6 oder (a + b)² = a² + 2ab + b². Eine Gleichung wie 2x = 6 stimmt nur für x = 3. Identitäten behandeln wir genauer in der Lektion über algebraische Identitäten.
Zum Ausprobieren: Kachel-Algebra zu Hause
Schneide Papierstreifen für x aus (zum Beispiel 6 cm lang) und kleine Quadrate für 1 (1 cm). Lege 2x + 3 + x + 1 aus und schiebe dann gleichartige Teile zusammen. Zähle: 3 Streifen und 4 Quadrate. Lege nun 3 Reihen aus "ein Streifen + zwei Quadrate" und sieh dir 3(x + 2) = 3x + 6 an. Stelle im freien Spiel der 3D-Szene a und b ein und sage die ausmultiplizierte Form voraus, bevor du nachsiehst.
Wichtige Formeln und Definitionen
- Glied = Koeffizient · Buchstabenteil, z. B. hat −3x² den Koeffizienten −3
- Gleichartige Glieder: ax + bx = (a + b)x
- Distributivgesetz: a(b + c) = ab + ac; a(b − c) = ab − ac
- Ausklammern: ab + ac = a(b + c) (größten gemeinsamen Teiler herausziehen)
- x · x = x²; xᵃ · xᵇ = xᵃ⁺ᵇ
- Identität: gilt für alle Werte; Gleichung: gilt für manche Werte
Gelöste Beispiele
1. Nenne die Glieder und den Koeffizienten von y in 5y² − 7y + 4.
Glieder: 5y², −7y, 4. Koeffizient von y = −7 (das Vorzeichen gehört dazu). Konstante = 4.
2. Vereinfache 4a + 3b − a + 5b − 2.
Gleichartige Glieder gruppieren: (4a − a) + (3b + 5b) − 2 = 3a + 8b − 2.
3. Berechne den Wert von 3x + 2 für x = 4.
3 · 4 + 2 = 12 + 2 = 14.
4. Berechne den Wert von 2p² − 3q für p = −2 und q = 5.
p² = (−2)² = 4. Also 2 · 4 − 3 · 5 = 8 − 15 = −7.
5. Multipliziere aus und vereinfache 3(2x + 1) − 2(x − 4).
3(2x + 1) = 6x + 3; −2(x − 4) = −2x + 8. Addiere: 6x − 2x + 3 + 8 = 4x + 11.
6. Klammere aus: 12m² − 18m.
Der größte gemeinsame Teiler von 12 und 18 ist 6; beide Glieder enthalten m. Also 12m² − 18m = 6m(2m − 3). Probe: 6m · 2m = 12m², 6m · 3 = 18m. ✓
7. Ein Taxi verlangt eine Grundgebühr von ₹50 plus ₹12 pro km. Schreibe einen Term für den Fahrpreis bei d km und berechne ihn für 15 km.
Fahrpreis = 50 + 12d. Für d = 15: 50 + 180 = ₹230.
Häufige Fehler
- Ungleichartige Glieder addieren: 3x + 4 ist NICHT 7x. Nur gleichartige Glieder dürfen zusammengefasst werden.
- Das Vorzeichen vergessen: In 5 − 2x ist der Koeffizient von x gleich −2, nicht 2.
- Nur das erste Glied multiplizieren: 3(x + 2) ist 3x + 6, nicht 3x + 2.
- Eine negative Zahl falsch quadrieren: Für x = −3 ist x² = 9 (nicht −9); schreibe (−3)² mit Klammern.