Was ist ein quadratisches Trinom?
Ein Trinom hat drei Glieder. Bei einem quadratischen Term ist x² die höchste Potenz. Also ist x² + 5x + 6 ein quadratisches Trinom.
Die allgemeine Form ist ax² + bx + c. Dabei ist a die Zahl vor x², b die Zahl vor x und c die Zahl ohne x.
Faktorisieren heißt, den Term als Produkt einfacherer Klammern zu schreiben. Es ist das Gegenteil von Ausmultiplizieren.
Mit Algebrakacheln sehen
Ein großes Quadrat hat die Fläche x². Ein Streifen hat die Fläche x. Ein kleines Quadrat hat die Fläche 1. Für x² + 5x + 6 nimmst du 1 großes Quadrat, 5 Streifen und 6 kleine Quadrate.
Lege sie zu einem Rechteck zusammen. Die Breite ist x + 3 und die Höhe ist x + 2. Die Fläche eines Rechtecks ist Breite mal Höhe, also
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Wenn deine Kacheln kein Rechteck ergeben, lässt sich das Trinom nicht mit ganzen Zahlen faktorisieren.
x² + bx + c faktorisieren
Multiplizierst du (x + m)(x + n) aus, erhältst du x² + (m + n)x + mn. Wir brauchen also zwei Zahlen m und n mit m × n = c und m + n = b.
- Liste die Zahlenpaare auf, deren Produkt c ist.
- Wähle das Paar, dessen Summe b ist.
- Schreibe (x + m)(x + n).
- Multipliziere aus, um zu prüfen.
Beispiel: x² + 7x + 12. Paare für 12: 1 und 12, 2 und 6, 3 und 4. Nur 3 + 4 = 7. Also (x + 3)(x + 4).
Vorzeichen
| c | b | Die beiden Zahlen | Beispiel |
|---|---|---|---|
| + | + | beide + | x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) |
| + | − | beide − | x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) |
| − | + | eine + und eine −; die größere ist + | x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3) |
| − | − | eine + und eine −; die größere ist − | x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3) |
Ist c positiv, haben beide Zahlen dasselbe Vorzeichen. Ist c negativ, haben sie verschiedene Vorzeichen.
ax² + bx + c faktorisieren (Mittelglied zerlegen)
Ist a nicht 1, multipliziere a und c. Suche zwei Zahlen mit Produkt a × c und Summe b. Mit ihnen zerlegst du das Mittelglied. Danach klammerst du aus.
Beispiel: 2x² + 7x + 3. a × c = 6. Die Zahlen 6 und 1 haben das Produkt 6 und die Summe 7.
2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
Die Kacheln bestätigen das: 2 große Quadrate, 7 Streifen und 3 kleine Quadrate bilden ein Rechteck mit den Seiten x + 3 und 2x + 1.
Besondere Trinome
Vollständige Quadrate: x² + 2mx + m² = (x + m)² und x² − 2mx + m² = (x − m)². Beispiel: x² + 10x + 25 = (x + 5)². Die Kacheln bilden ein Quadrat.
Differenz zweier Quadrate: x² − m² = (x − m)(x + m). Es gibt kein Mittelglied, weil sich +m und −m aufheben.
Immer prüfen: Multipliziere deine Klammern aus. Du musst den ursprünglichen Term zurückbekommen.
Probier es aus: ein Versuch
Stelle im 3D a = 1 ein und bewege p und q. Sage das Trinom voraus, bevor du hinschaust. Lies es dann vom Bildschirm ab. Schneide zu Hause ein Papierquadrat für x² aus sowie Streifen und kleine Quadrate aus Karton. Lege x² + 4x + 3 zu einem Rechteck und lies seine Seiten ab.
Wichtige Formeln und Definitionen
- (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn
- x² + bx + c: finde m, n mit m × n = c und m + n = b
- ax² + bx + c: finde m, n mit m × n = a × c und m + n = b, dann zerlegen und ausklammern
- x² ± 2mx + m² = (x ± m)²
- x² − m² = (x − m)(x + m)
Gelöste Beispiele
1. Faktorisiere x² + 7x + 12.
Wir brauchen zwei Zahlen mit Produkt 12 und Summe 7. Das sind 3 und 4. Also x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
2. Faktorisiere x² − 8x + 15.
c ist positiv und b ist negativ, also sind beide Zahlen negativ. Produkt 15, Summe −8: −3 und −5. Also (x − 3)(x − 5).
3. Faktorisiere x² + 3x − 10.
c ist negativ, also ist eine Zahl + und eine −. Produkt −10, Summe 3: +5 und −2. Also (x + 5)(x − 2).
4. Faktorisiere x² − x − 20.
Produkt −20, Summe −1: −5 und +4. Also (x − 5)(x + 4).
5. Faktorisiere 2x² + 7x + 3.
a × c = 6. Zwei Zahlen mit Produkt 6 und Summe 7: 6 und 1. 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
6. Faktorisiere 6x² − 5x − 6.
a × c = −36. Zwei Zahlen mit Produkt −36 und Summe −5: −9 und +4. 6x² − 9x + 4x − 6 = 3x(2x − 3) + 2(2x − 3) = (2x − 3)(3x + 2).
7. Faktorisiere x² + 10x + 25.
25 = 5 × 5 und 5 + 5 = 10. Also x² + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5) = (x + 5)².
8. Löse x² − 5x + 6 = 0.
Faktorisiere: (x − 2)(x − 3) = 0. Ein Produkt ist nur null, wenn ein Faktor null ist, also x = 2 oder x = 3.
Häufige Fehler
- Zahlen wählen, deren Produkt c ist, und nicht prüfen, ob ihre Summe b ergibt.
- Die Vorzeichen verwechseln. Ist c negativ, müssen die beiden Zahlen verschiedene Vorzeichen haben.
- Vergessen, a und c zu multiplizieren, wenn a nicht 1 ist.
- Am Ende nicht ausmultiplizieren, um das Ergebnis zu prüfen.