什么是二次三项式？
三项式有三项。二次表示最高次数是 x²。所以 x² + 5x + 6 就是一个二次三项式。
它的一般形式是 ax² + bx + c。其中 a 是 x² 前面的数，b 是 x 前面的数，c 是单独的数。
因式分解就是把一个式子写成几个更简单的括号相乘。它和展开正好相反。
用代数瓦片来看
大正方形瓦片的面积是 x²，长条的面积是 x，小正方形的面积是 1。要表示 x² + 5x + 6，就取 1 个大正方形、5 个长条和 6 个小正方形。
把它们拼成一个长方形。宽是 x + 3，高是 x + 2。长方形的面积等于宽乘高，所以
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
如果瓦片拼不成长方形，说明这个三项式不能用整数分解。
分解 x² + bx + c
把 (x + m)(x + n) 展开，得到 x² + (m + n)x + mn。所以我们要找两个数 m 和 n，满足 m × n = c 且 m + n = b。
- 列出所有积为 c 的数对。
- 选出和为 b 的那一对。
- 写成 (x + m)(x + n)。
- 展开检查。
例子：x² + 7x + 12。12 的数对有：1 和 12，2 和 6，3 和 4。只有 3 + 4 = 7。所以是 (x + 3)(x + 4)。
符号规律
| c | b | 两个数 | 例子 |
|---|---|---|---|
| + | + | 都是 + | x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) |
| + | − | 都是 − | x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) |
| − | + | 一正一负，绝对值大的是 + | x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3) |
| − | − | 一正一负，绝对值大的是 − | x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3) |
如果 c 是正数，两个数的符号相同。如果 c 是负数，两个数的符号不同。
分解 ax² + bx + c（拆中项法）
当 a 不是 1 时，先把 a 和 c 相乘。找两个数，积是 a × c，和是 b。用它们把中间项拆开，然后分组提公因式。
例子：2x² + 7x + 3。a × c = 6。6 和 1 的积是 6，和是 7。
2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1)。
瓦片的结果也一样：2 个大正方形、7 个长条和 3 个小正方形，拼成边长为 x + 3 和 2x + 1 的长方形。
特殊的三项式
完全平方式：x² + 2mx + m² = (x + m)²，x² − 2mx + m² = (x − m)²。例子：x² + 10x + 25 = (x + 5)²。瓦片拼成的是一个正方形。
平方差：x² − m² = (x − m)(x + m)。它没有中间项，因为 +m 和 −m 互相抵消了。
一定要检查：把括号展开，必须得到原来的式子。
动手试试：小实验
在3D中，把 a 设为 1，然后移动 p 和 q。先别看屏幕，自己预测三项式是什么，再对照屏幕读出来。在家里，可以用纸剪一个正方形表示 x²，再用硬纸片剪出长条和小正方形。把 x² + 4x + 3 拼成一个长方形，读出它的两条边。
重点公式和概念
- (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn
- x² + bx + c：找 m、n，使 m × n = c 且 m + n = b
- ax² + bx + c：找 m、n，使 m × n = a × c 且 m + n = b，然后拆项并分组
- x² ± 2mx + m² = (x ± m)²
- x² − m² = (x − m)(x + m)
例题讲解
1. 分解 x² + 7x + 12。
我们要找两个数，积是 12，和是 7。它们是 3 和 4。所以 x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)。
2. 分解 x² − 8x + 15。
c 是正数，b 是负数，所以两个数都是负数。积是 15，和是 −8：−3 和 −5。所以 (x − 3)(x − 5)。
3. 分解 x² + 3x − 10。
c 是负数，所以一个数是 +，一个数是 −。积是 −10，和是 3：+5 和 −2。所以 (x + 5)(x − 2)。
4. 分解 x² − x − 20。
积是 −20，和是 −1：−5 和 +4。所以 (x − 5)(x + 4)。
5. 分解 2x² + 7x + 3。
a × c = 6。积是 6、和是 7 的两个数：6 和 1。2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1)。
6. 分解 6x² − 5x − 6。
a × c = −36。积是 −36、和是 −5 的两个数：−9 和 +4。6x² − 9x + 4x − 6 = 3x(2x − 3) + 2(2x − 3) = (2x − 3)(3x + 2)。
7. 分解 x² + 10x + 25。
25 = 5 × 5，而 5 + 5 = 10。所以 x² + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5) = (x + 5)²。
8. 解方程 x² − 5x + 6 = 0。
先分解：(x − 2)(x − 3) = 0。积为零，只有某个因式为零才行，所以 x = 2 或 x = 3。
常见错误
- 选了积为 c 的两个数，却忘了检查它们的和是不是 b。
- 符号弄错。如果 c 是负数，两个数的符号必须不同。
- a 不是 1 时，忘了先把 a 和 c 相乘。
- 最后没有展开检查答案。