什么是恒等式？
像 2x + 1 = 7 这样的方程，只有 x = 3 时才成立。而恒等式对所有值都成立。例如：(x + 1)² = x² + 2x + 1。试试 x = 5：36 = 25 + 10 + 1。✓
检验恒等式时，把任意一个数代入两边。要证明它，可以展开或者画图。
把恒等式看成面积
长方形面积 = 长 × 宽。所以两个括号的乘积就是一个面积。
- (a + b)² = a² + 2ab + b²：边长为 a + b 的正方形 = 一个 a²、两个 ab、一个 b²。
- (a − b)² = a² − 2ab + b²：从 a² 中拿走两个 a×b 的长条。角上的 b² 被拿走了两次，所以要补回一次。
- a² − b² = (a + b)(a − b)：从 a² 的一角剪掉 b²。把 L 形的一块移过去，拼成长为 (a + b)、宽为 (a − b) 的长方形。
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab：边长为 x + a 和 x + b 的长方形。
用恒等式和代数图块因式分解
因式分解就是把一个式子写成几个因式相乘的形式。把恒等式从右往左读就行。
- x² + 10x + 25 = (x + 5)²（首项和末项都是平方，中间项是 2 × x × 5）。
- 49y² − 16 = (7y)² − 4² = (7y + 4)(7y − 4)。
- x² + 7x + 12：找两个数，和为 7，积为 12 → 3 和 4。所以 (x + 3)(x + 4)。
代数图块：用一个大正方形表示 x²，每个 x 用一个长条，每个 1 用一个小方块。把 x² 放在角上，长条放在两边，再用小方块把角落填满。如果正好拼成一个完整的长方形，它的两条边就是两个因式。
发现新的恒等式
我们可以从旧的恒等式或者图形中得到新的恒等式。
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca：边长为 a + b + c 的正方形可以分成 3 × 3 的 9 块。
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³：边长为 a + b 的立方体分成 8 块。
- (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³：把 b 换成 −b 就行。
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) 和 a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)。
- 如果 a + b + c = 0，那么 a³ + b³ + c³ = 3abc。
新恒等式一定要用数字检验一下，比如 a = 2，b = 1。
化简分式
分式是一个多项式除以另一个多项式，比如 (x² − 9)/(x + 3)。化简时，先把分子和分母因式分解，再约去公共因式。
(x² − 9)/(x + 3) = (x + 3)(x − 3)/(x + 3) = x − 3，其中 x ≠ −3。
记住：只能约去整个因式，不能只约去某一项。而且让分母等于零的值是不允许的。
动手做一做
剪纸：一个边长 7 cm 的正方形 (a²)，两个 7 cm × 3 cm 的长条 (ab)，一个边长 3 cm 的正方形 (b²)。把它们拼成一个大正方形。量一量它的边长：10 cm。检验 10² = 49 + 42 + 9 = 100。然后再剪 12 个单位小方块和长条，自己动手分解 x² + 7x + 12。
考试重点
常见题型：用恒等式展开；不直接相乘，计算 99³ 或 104 × 96；分解 x³ + 27 或 8a³ − 27b³；利用 a + b + c = 0；用图形证明恒等式；化简分式。
重点公式和概念
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- a² − b² = (a + b)(a − b)
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
- (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
例题讲解
1. 展开 (2x + 3)²。
(2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9。
2. 不用竖式乘法，求 98²。
(100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604。
3. 求 104 × 96。
(100 + 4)(100 − 4) = 100² − 4² = 10000 − 16 = 9984。
4. 用图块分解 x² + 5x + 6。
1 个 x²，5 个长条，6 个单位方块。长方形的两条边是 x + 2 和 x + 3。检验：2 + 3 = 5，2 × 3 = 6。所以 (x + 2)(x + 3)。
5. 展开 (a + 2b − c)²。
a² + 4b² + c² + 2(a)(2b) + 2(2b)(−c) + 2(−c)(a) = a² + 4b² + c² + 4ab − 4bc − 2ca。
6. 分解 8x³ + 27。
(2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9)。
7. 如果 a + b + c = 0，当 a = 5，b = −2，c = −3 时，求 a³ + b³ + c³。
5 − 2 − 3 = 0，所以 a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 5 × (−2) × (−3) = 90。检验：125 − 8 − 27 = 90 ✓。
8. 化简 (x² − 4x + 4)/(x² − 4)。
分子 = (x − 2)²。分母 = (x + 2)(x − 2)。约去 (x − 2)：(x − 2)/(x + 2)，其中 x ≠ 2，−2。
常见错误
- 把 (a + b)² 写成 a² + b²。漏掉了两个 ab 长条：中间项 2ab 不能少。
- (a − b)² 的符号写错：最后一项 + b² 永远是正的。
- 在分式里约去单项：(x + 3)/3 不等于 x。只能约去公共因式。
- 忘了把系数也平方：(3x)² = 9x²，不是 3x²。