Wat is een identiteit?
Een vergelijking zoals 2x + 1 = 7 klopt alleen voor x = 3. Een identiteit klopt voor elke waarde. Voorbeeld: (x + 1)² = x² + 2x + 1. Probeer x = 5: 36 = 25 + 10 + 1. ✓
Om een identiteit te testen, vul je een willekeurig getal in aan beide kanten. Om hem te bewijzen, werk je hem uit of teken je hem.
Identiteiten zien als oppervlakte
Oppervlakte van een rechthoek = lengte × breedte. Een product van twee haakjes is dus een oppervlakte.
- (a + b)² = a² + 2ab + b²: een vierkant met zijde a + b = één a², twee keer ab, één b².
- (a − b)² = a² − 2ab + b²: haal van a² twee stroken a×b weg. Het hoekje b² is twee keer weggehaald, dus tel het één keer weer op.
- a² − b² = (a + b)(a − b): knip b² uit een hoek van a². Verplaats één stuk van de L-vorm, zodat een rechthoek (a + b) bij (a − b) ontstaat.
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab: een rechthoek met zijden x + a en x + b.
Ontbinden met identiteiten en algebrategels
Ontbinden betekent een uitdrukking schrijven als een product. Lees de identiteit van rechts naar links.
- x² + 10x + 25 = (x + 5)² (het eerste en het laatste getal zijn kwadraten, het midden is 2 × x × 5).
- 49y² − 16 = (7y)² − 4² = (7y + 4)(7y − 4).
- x² + 7x + 12: zoek twee getallen met som 7 en product 12 → 3 en 4. Dus (x + 3)(x + 4).
Algebrategels: neem één groot vierkant voor x², een strook voor elke x en een klein vierkantje voor elke 1. Leg x² in een hoek, de stroken langs twee zijden en vul de hoek met eenheden. Vormen ze een mooie rechthoek, dan zijn de zijden de factoren.
Nieuwe identiteiten vinden
We kunnen nieuwe identiteiten maken uit oude of uit vormen.
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca: een vierkant met zijde a + b + c heeft een raster van 3 × 3 = 9 stukken.
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³: een kubus met ribbe a + b valt uiteen in 8 blokken.
- (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³: vul −b in op de plaats van b.
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) en a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
- Als a + b + c = 0, dan is a³ + b³ + c³ = 3abc.
Controleer een nieuwe identiteit altijd met getallen, bijvoorbeeld a = 2, b = 1.
Breuken met letters vereenvoudigen
Een algebraïsche breuk (rationale uitdrukking) is een veelterm gedeeld door een andere, zoals (x² − 9)/(x + 3). Om te vereenvoudigen ontbind je de teller en de noemer en schrap je de gemeenschappelijke factoren.
(x² − 9)/(x + 3) = (x + 3)(x − 3)/(x + 3) = x − 3, voor x ≠ −3.
Onthoud: schrap alleen hele factoren, nooit losse termen. En de waarde waarvoor de noemer nul wordt, is niet toegestaan.
Probeer het zelf: een practicum
Knip papier: één vierkant van 7 cm (a²), twee stroken van 7 cm × 3 cm (ab) en één vierkant van 3 cm (b²). Leg ze samen tot één groot vierkant. Meet de zijde: 10 cm. Controleer 10² = 49 + 42 + 9 = 100. Knip daarna 12 eenheidsvierkantjes en stroken en ontbind zelf x² + 7x + 12.
Tips voor het examen
Vaak gestelde vragen: werk uit met een identiteit; bereken 99³ of 104 × 96 zonder rechtstreeks te vermenigvuldigen; ontbind x³ + 27 of 8a³ − 27b³; gebruik a + b + c = 0; bewijs een identiteit met een figuur; vereenvoudig een algebraïsche breuk.
Belangrijke formules en begrippen
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- a² − b² = (a + b)(a − b)
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
- (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
Uitgewerkte voorbeelden
1. Werk (2x + 3)² uit.
(2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9.
2. Bereken 98² zonder lang vermenigvuldigen.
(100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
3. Bereken 104 × 96.
(100 + 4)(100 − 4) = 100² − 4² = 10000 − 16 = 9984.
4. Ontbind x² + 5x + 6 met tegels.
1 x², 5 stroken, 6 eenheden. De rechthoek heeft zijden x + 2 en x + 3. Controle: 2 + 3 = 5, 2 × 3 = 6. Dus (x + 2)(x + 3).
5. Werk (a + 2b − c)² uit.
a² + 4b² + c² + 2(a)(2b) + 2(2b)(−c) + 2(−c)(a) = a² + 4b² + c² + 4ab − 4bc − 2ca.
6. Ontbind 8x³ + 27.
(2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9).
7. Als a + b + c = 0, bereken a³ + b³ + c³ voor a = 5, b = −2, c = −3.
5 − 2 − 3 = 0, dus a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 5 × (−2) × (−3) = 90. Controle: 125 − 8 − 27 = 90 ✓.
8. Vereenvoudig (x² − 4x + 4)/(x² − 4).
Teller = (x − 2)². Noemer = (x + 2)(x − 2). Schrap (x − 2): (x − 2)/(x + 2), voor x ≠ 2, −2.
Veelgemaakte fouten
- (a + b)² = a² + b² schrijven. De twee stroken ab ontbreken: de middelste term 2ab hoort erbij.
- Het teken fout hebben bij (a − b)²: de laatste term + b² is altijd positief.
- Termen schrappen in breuken: (x + 3)/3 is niet x. Schrap alleen gemeenschappelijke factoren.
- Vergeten de coëfficiënt te kwadrateren: (3x)² = 9x², niet 3x².