항등식이란?
2x + 1 = 7 같은 방정식은 x = 3일 때만 참이에요. 항등식은 모든 값에서 참이에요. 예: (x + 1)² = x² + 2x + 1. x = 5를 넣어 봐요: 36 = 25 + 10 + 1. ✓
항등식인지 확인하려면 양변에 아무 수나 넣어 봐요. 증명하려면 전개하거나 그림으로 그려요.
항등식을 넓이로 보기
직사각형의 넓이 = 가로 × 세로예요. 그래서 괄호 두 개의 곱은 넓이로 볼 수 있어요.
- (a + b)² = a² + 2ab + b²: 한 변이 a + b인 정사각형 = a² 하나, ab 둘, b² 하나.
- (a − b)² = a² − 2ab + b²: a²에서 a×b 직사각형 두 개를 떼요. b² 모서리가 두 번 빠졌으니 한 번 다시 더해요.
- a² − b² = (a + b)(a − b): a²의 모서리에서 b²를 잘라요. ㄴ자 모양의 한 조각을 옮기면 (a + b) × (a − b) 직사각형이 돼요.
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab: 두 변이 x + a, x + b인 직사각형.
곱셈 공식과 대수 타일로 인수분해하기
인수분해는 식을 곱의 꼴로 쓰는 거예요. 공식을 오른쪽에서 왼쪽으로 읽으면 돼요.
- x² + 10x + 25 = (x + 5)² (처음과 끝이 제곱이고, 가운데는 2 × x × 5예요).
- 49y² − 16 = (7y)² − 4² = (7y + 4)(7y − 4).
- x² + 7x + 12: 합이 7, 곱이 12인 두 수를 찾아요. 3과 4예요. 그래서 (x + 3)(x + 4).
대수 타일: x²에는 큰 정사각형 하나, x마다 막대 하나, 1마다 작은 정사각형 하나를 써요. x²를 모서리에 놓고, 막대를 두 변을 따라 놓고, 남은 모서리를 단위 타일로 채워요. 빈틈없는 직사각형이 되면 그 두 변이 바로 인수예요.
새로운 항등식 찾기
옛 공식이나 도형으로 새 항등식을 만들 수 있어요.
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca: 한 변이 a + b + c인 정사각형은 3 × 3 격자, 즉 9개 조각이에요.
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³: 한 변이 a + b인 정육면체는 8개 블록으로 나뉘어요.
- (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³: b 대신 −b를 넣어요.
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
- a + b + c = 0이면 a³ + b³ + c³ = 3abc.
새 항등식은 꼭 숫자로 확인해 봐요. 예를 들어 a = 2, b = 1.
유리식 간단히 하기
유리식은 다항식을 다항식으로 나눈 식이에요. 예: (x² − 9)/(x + 3). 간단히 하려면 분자와 분모를 인수분해하고 공통인 인수를 약분해요.
(x² − 9)/(x + 3) = (x + 3)(x − 3)/(x + 3) = x − 3, 단 x ≠ −3.
기억해요. 약분은 식 전체(인수)만 할 수 있고, 항 하나만 지우면 안 돼요. 그리고 분모를 0으로 만드는 값은 쓸 수 없어요.
직접 해 보기: 실습
종이를 잘라요. 한 변 7 cm 정사각형 하나(a²), 7 cm × 3 cm 직사각형 둘(ab), 한 변 3 cm 정사각형 하나(b²). 이어 붙여 큰 정사각형을 만들어요. 한 변을 재 보면 10 cm예요. 10² = 49 + 42 + 9 = 100을 확인해요. 그다음 단위 정사각형 12개와 막대를 잘라서 x² + 7x + 12를 직접 인수분해해 봐요.
시험 대비 코너
자주 나오는 문제: 공식으로 전개하기, 99³이나 104 × 96을 직접 곱하지 않고 계산하기, x³ + 27이나 8a³ − 27b³ 인수분해하기, a + b + c = 0 이용하기, 그림으로 항등식 증명하기, 유리식 간단히 하기.
핵심 공식과 정의
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- a² − b² = (a + b)(a − b)
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
- (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
풀이 예제
1. (2x + 3)²을 전개하세요.
(2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9.
2. 긴 곱셈 없이 98²을 구하세요.
(100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
3. 104 × 96을 구하세요.
(100 + 4)(100 − 4) = 100² − 4² = 10000 − 16 = 9984.
4. 타일로 x² + 5x + 6을 인수분해하세요.
x² 1개, 막대 5개, 단위 타일 6개. 직사각형의 두 변은 x + 2와 x + 3이에요. 확인: 2 + 3 = 5, 2 × 3 = 6. 그래서 (x + 2)(x + 3).
5. (a + 2b − c)²을 전개하세요.
a² + 4b² + c² + 2(a)(2b) + 2(2b)(−c) + 2(−c)(a) = a² + 4b² + c² + 4ab − 4bc − 2ca.
6. 8x³ + 27을 인수분해하세요.
(2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9).
7. a + b + c = 0일 때, a = 5, b = −2, c = −3이면 a³ + b³ + c³의 값은?
5 − 2 − 3 = 0이므로 a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 5 × (−2) × (−3) = 90. 확인: 125 − 8 − 27 = 90 ✓.
8. (x² − 4x + 4)/(x² − 4)을 간단히 하세요.
분자 = (x − 2)². 분모 = (x + 2)(x − 2). (x − 2)를 약분하면 (x − 2)/(x + 2), 단 x ≠ 2, −2.
자주 하는 실수
- (a + b)² = a² + b²라고 쓰는 실수. ab 직사각형 두 개가 빠졌어요. 가운데 항 2ab가 꼭 필요해요.
- (a − b)²에서 부호를 틀리는 실수. 마지막 항 + b²는 언제나 양수예요.
- 분수에서 항끼리 약분하는 실수. (x + 3)/3은 x가 아니에요. 공통인 인수만 약분해요.
- 계수를 제곱하는 것을 잊는 실수. (3x)² = 9x²이지 3x²이 아니에요.