Что такое тождество?
Уравнение вроде 2x + 1 = 7 верно только при x = 3. Тождество верно при любых значениях. Пример: (x + 1)² = x² + 2x + 1. Проверим при x = 5: 36 = 25 + 10 + 1. ✓
Чтобы проверить тождество, подставь одно и то же число в обе части. Чтобы доказать его, раскрой скобки или нарисуй картинку.
Тождества как площади
Площадь прямоугольника = длина × ширина. Поэтому произведение двух скобок — это площадь.
- (a + b)² = a² + 2ab + b²: квадрат со стороной a + b состоит из одного a², двух ab и одного b².
- (a − b)² = a² − 2ab + b²: из a² убираем две полоски a×b. Угол b² убран дважды, поэтому один раз добавляем его обратно.
- a² − b² = (a + b)(a − b): вырежем b² из угла a². Переложим одну часть Г-образной фигуры, и получится прямоугольник (a + b) на (a − b).
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab: прямоугольник со сторонами x + a и x + b.
Разложение на множители: формулы и алгебраические плитки
Разложить на множители — значит записать выражение в виде произведения. Для этого читаем формулу справа налево.
- x² + 10x + 25 = (x + 5)² (первое и последнее слагаемые — квадраты, а среднее равно 2 × x × 5).
- 49y² − 16 = (7y)² − 4² = (7y + 4)(7y − 4).
- x² + 7x + 12: ищем два числа с суммой 7 и произведением 12 → это 3 и 4. Получаем (x + 3)(x + 4).
Алгебраические плитки: большой квадрат — это x², полоска — это каждый x, маленький квадратик — каждая единица. Поставь x² в угол, полоски вдоль двух сторон, а угол заполни единицами. Если получился ровный прямоугольник, его стороны — это множители.
Как найти новые тождества
Новые тождества можно получить из старых или из фигур.
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca: квадрат со стороной a + b + c разбит на сетку 3 × 3, то есть на 9 частей.
- (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³: куб со стороной a + b делится на 8 блоков.
- (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³: подставь −b вместо b.
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) и a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
- Если a + b + c = 0, то a³ + b³ + c³ = 3abc.
Новое тождество всегда проверяй на числах, например при a = 2, b = 1.
Сокращение алгебраических дробей
Рациональное выражение — это один многочлен, делённый на другой, например (x² − 9)/(x + 3). Чтобы упростить его, разложи числитель и знаменатель на множители и сократи общие множители.
(x² − 9)/(x + 3) = (x + 3)(x − 3)/(x + 3) = x − 3, при x ≠ −3.
Помни: сокращать можно только целые множители, но не отдельные слагаемые. А значение, при котором знаменатель равен нулю, брать нельзя.
Попробуй сам: практическая работа
Вырежи из бумаги: один квадрат 7 см × 7 см (a²), две полоски 7 см × 3 см (ab) и один квадрат 3 см × 3 см (b²). Сложи из них один большой квадрат. Измерь его сторону: 10 см. Проверь: 10² = 49 + 42 + 9 = 100. Потом вырежи 12 единичных квадратов и полоски и сам разложи x² + 7x + 12.
Что бывает на контрольной
Типичные задания: раскрыть скобки по формуле; вычислить 99³ или 104 × 96, не умножая напрямую; разложить x³ + 27 или 8a³ − 27b³; использовать условие a + b + c = 0; доказать тождество с помощью рисунка; упростить алгебраическую дробь.
Главные формулы и определения
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- a² − b² = (a + b)(a − b)
- (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
- (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
- (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
- a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
Разобранные примеры
1. Раскройте скобки в (2x + 3)².
(2x)² + 2(2x)(3) + 3² = 4x² + 12x + 9.
2. Найдите 98² без умножения столбиком.
(100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604.
3. Найдите 104 × 96.
(100 + 4)(100 − 4) = 100² − 4² = 10000 − 16 = 9984.
4. Разложите x² + 5x + 6 с помощью плиток.
1 квадрат x², 5 полосок, 6 единиц. У прямоугольника стороны x + 2 и x + 3. Проверка: 2 + 3 = 5, 2 × 3 = 6. Значит, (x + 2)(x + 3).
5. Раскройте скобки в (a + 2b − c)².
a² + 4b² + c² + 2(a)(2b) + 2(2b)(−c) + 2(−c)(a) = a² + 4b² + c² + 4ab − 4bc − 2ca.
6. Разложите на множители 8x³ + 27.
(2x)³ + 3³ = (2x + 3)(4x² − 6x + 9).
7. Если a + b + c = 0, найдите a³ + b³ + c³ при a = 5, b = −2, c = −3.
5 − 2 − 3 = 0, поэтому a³ + b³ + c³ = 3abc = 3 × 5 × (−2) × (−3) = 90. Проверка: 125 − 8 − 27 = 90 ✓.
8. Упростите (x² − 4x + 4)/(x² − 4).
Числитель = (x − 2)². Знаменатель = (x + 2)(x − 2). Сократим (x − 2): (x − 2)/(x + 2), при x ≠ 2, −2.
Частые ошибки
- Писать (a + b)² = a² + b². Тут не хватает двух полосок ab: нужен средний член 2ab.
- Ошибаться со знаком в (a − b)²: последнее слагаемое + b² всегда положительное.
- Сокращать слагаемые в дробях: (x + 3)/3 — это не x. Сокращать можно только общие множители.
- Забывать возводить в квадрат коэффициент: (3x)² = 9x², а не 3x².