Что такое квадратный трёхчлен?
Трёхчлен состоит из трёх слагаемых. Квадратный означает, что старшая степень — x². Значит, x² + 5x + 6 — квадратный трёхчлен.
Общий вид: ax² + bx + c. Здесь a — число перед x², b — число перед x, а c — число само по себе.
Разложить на множители — значит записать выражение как произведение более простых скобок. Это действие, обратное раскрытию скобок.
Смотрим с помощью алгебраических плиток
Площадь большой квадратной плитки равна x². Площадь полоски равна x. Площадь маленького квадрата равна 1. Для x² + 5x + 6 берём 1 большой квадрат, 5 полосок и 6 маленьких квадратов.
Сложим их в один прямоугольник. Ширина равна x + 3, высота равна x + 2. Площадь прямоугольника — это ширина, умноженная на высоту, поэтому
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Если из плиток нельзя составить прямоугольник, то трёхчлен нельзя разложить на множители с целыми числами.
Разложение x² + bx + c
Раскроем (x + m)(x + n) и получим x² + (m + n)x + mn. Значит, нам нужны два числа m и n, для которых m × n = c и m + n = b.
- Выпишите пары чисел, произведение которых равно c.
- Выберите пару, сумма которой равна b.
- Запишите (x + m)(x + n).
- Раскройте скобки и проверьте.
Пример: x² + 7x + 12. Пары для 12: 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Только 3 + 4 = 7. Значит, (x + 3)(x + 4).
Знаки
| c | b | Два числа | Пример |
|---|---|---|---|
| + | + | оба + | x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) |
| + | − | оба − | x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) |
| − | + | одно + и одно −; большее по модулю число со знаком + | x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3) |
| − | − | одно + и одно −; большее по модулю число со знаком − | x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3) |
Если c положительно, у обоих чисел одинаковый знак. Если c отрицательно, знаки разные.
Разложение ax² + bx + c (разбиение среднего члена)
Когда a не равно 1, перемножьте a и c. Найдите два числа, произведение которых равно a × c, а сумма равна b. С их помощью разбейте средний член. Затем сгруппируйте слагаемые.
Пример: 2x² + 7x + 3. a × c = 6. Числа 6 и 1 в произведении дают 6, а в сумме 7.
2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
Плитки подтверждают это: 2 больших квадрата, 7 полосок и 3 маленьких квадрата образуют прямоугольник со сторонами x + 3 и 2x + 1.
Особые трёхчлены
Полные квадраты: x² + 2mx + m² = (x + m)² и x² − 2mx + m² = (x − m)². Пример: x² + 10x + 25 = (x + 5)². Из плиток получается квадрат.
Разность квадратов: x² − m² = (x − m)(x + m). Среднего члена нет, потому что +m и −m сокращаются.
Всегда проверяйте: раскройте скобки. Вы должны получить исходное выражение.
Попробуйте сами: практическое задание
В 3D-сцене поставьте a = 1 и двигайте p и q. Прежде чем смотреть, угадайте трёхчлен. Затем прочитайте его на экране. Дома вырежьте бумажный квадрат для x², а полоски и маленькие квадраты — из картона. Сложите x² + 4x + 3 в прямоугольник и прочитайте его стороны.
Главные формулы и определения
- (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn
- x² + bx + c: найти m, n, где m × n = c и m + n = b
- ax² + bx + c: найти m, n, где m × n = a × c и m + n = b, затем разбить и сгруппировать
- x² ± 2mx + m² = (x ± m)²
- x² − m² = (x − m)(x + m)
Разобранные примеры
1. Разложите на множители x² + 7x + 12.
Нужны два числа с произведением 12 и суммой 7. Это 3 и 4. Значит, x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
2. Разложите на множители x² − 8x + 15.
c положительно, а b отрицательно, поэтому оба числа отрицательные. Произведение 15, сумма −8: −3 и −5. Значит, (x − 3)(x − 5).
3. Разложите на множители x² + 3x − 10.
c отрицательно, поэтому одно число положительное, а другое отрицательное. Произведение −10, сумма 3: +5 и −2. Значит, (x + 5)(x − 2).
4. Разложите на множители x² − x − 20.
Произведение −20, сумма −1: −5 и +4. Значит, (x − 5)(x + 4).
5. Разложите на множители 2x² + 7x + 3.
a × c = 6. Два числа с произведением 6 и суммой 7: 6 и 1. 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
6. Разложите на множители 6x² − 5x − 6.
a × c = −36. Два числа с произведением −36 и суммой −5: −9 и +4. 6x² − 9x + 4x − 6 = 3x(2x − 3) + 2(2x − 3) = (2x − 3)(3x + 2).
7. Разложите на множители x² + 10x + 25.
25 = 5 × 5 и 5 + 5 = 10. Значит, x² + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5) = (x + 5)².
8. Решите уравнение x² − 5x + 6 = 0.
Разложим на множители: (x − 2)(x − 3) = 0. Произведение равно нулю только тогда, когда один из множителей равен нулю, поэтому x = 2 или x = 3.
Частые ошибки
- Выбрать числа с произведением c и забыть проверить, что их сумма равна b.
- Ошибиться со знаками. Если c отрицательно, у двух чисел должны быть разные знаки.
- Забыть умножить a на c, когда a не равно 1.
- Не раскрыть скобки в конце, чтобы проверить ответ.