O que é um trinômio do 2º grau?
Um trinômio tem três termos. Uma expressão do 2º grau tem x² como maior potência. Então x² + 5x + 6 é um trinômio do 2º grau.
A forma geral é ax² + bx + c. Aqui a é o número na frente de x², b é o número na frente de x, e c é o número sozinho.
Fatorar é escrever a expressão como um produto de parênteses mais simples. É o contrário de desenvolver o produto.
Veja com peças de álgebra
Um quadrado grande tem área x². Uma tira tem área x. Um quadradinho tem área 1. Para x² + 5x + 6 você pega 1 quadrado grande, 5 tiras e 6 quadradinhos.
Junte tudo num retângulo. A largura é x + 3 e a altura é x + 2. A área de um retângulo é largura vezes altura, então
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Se as peças não formam um retângulo, o trinômio não pode ser fatorado com números inteiros.
Fatorando x² + bx + c
Desenvolva (x + m)(x + n) e você obtém x² + (m + n)x + mn. Então precisamos de dois números m e n tais que m × n = c e m + n = b.
- Liste os pares de números que multiplicados dão c.
- Escolha o par que somado dá b.
- Escreva (x + m)(x + n).
- Desenvolva o produto para conferir.
Exemplo: x² + 7x + 12. Pares para 12: 1 e 12, 2 e 6, 3 e 4. Só 3 + 4 = 7. Então (x + 3)(x + 4).
Sinais
| c | b | Os dois números | Exemplo |
|---|---|---|---|
| + | + | os dois + | x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) |
| + | − | os dois − | x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) |
| − | + | um + e um −; o maior é + | x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3) |
| − | − | um + e um −; o maior é − | x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3) |
Se c é positivo, os dois números têm o mesmo sinal. Se c é negativo, eles têm sinais diferentes.
Fatorando ax² + bx + c (separar o termo do meio)
Quando a não é 1, multiplique a por c. Ache dois números que multiplicados dão a × c e somados dão b. Use-os para separar o termo do meio. Depois agrupe.
Exemplo: 2x² + 7x + 3. a × c = 6. Os números 6 e 1 multiplicados dão 6 e somados dão 7.
2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
As peças concordam: 2 quadrados grandes, 7 tiras e 3 quadradinhos formam um retângulo com lados x + 3 e 2x + 1.
Trinômios especiais
Quadrados perfeitos: x² + 2mx + m² = (x + m)² e x² − 2mx + m² = (x − m)². Exemplo: x² + 10x + 25 = (x + 5)². As peças formam um quadrado.
Diferença de quadrados: x² − m² = (x − m)(x + m). Não tem termo do meio, porque +m e −m se cancelam.
Sempre confira: desenvolva seus parênteses. Você deve voltar à expressão original.
Experimente: uma prática
No 3D, deixe a = 1 e mexa em p e q. Antes de olhar, adivinhe o trinômio. Depois leia na tela. Em casa, corte um quadrado de papel para x², e tiras e quadradinhos de cartolina. Monte x² + 4x + 3 num retângulo e leia os lados dele.
Fórmulas e definições principais
- (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn
- x² + bx + c: ache m, n com m × n = c e m + n = b
- ax² + bx + c: ache m, n com m × n = a × c e m + n = b, depois separe e agrupe
- x² ± 2mx + m² = (x ± m)²
- x² − m² = (x − m)(x + m)
Exemplos resolvidos
1. Fatore x² + 7x + 12.
Precisamos de dois números que multiplicados dão 12 e somados dão 7. São 3 e 4. Então x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
2. Fatore x² − 8x + 15.
c é positivo e b é negativo, então os dois números são negativos. Produto 15 e soma −8: −3 e −5. Então (x − 3)(x − 5).
3. Fatore x² + 3x − 10.
c é negativo, então um número é + e o outro é −. Produto −10, soma 3: +5 e −2. Então (x + 5)(x − 2).
4. Fatore x² − x − 20.
Produto −20, soma −1: −5 e +4. Então (x − 5)(x + 4).
5. Fatore 2x² + 7x + 3.
a × c = 6. Dois números com produto 6 e soma 7: 6 e 1. 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
6. Fatore 6x² − 5x − 6.
a × c = −36. Dois números com produto −36 e soma −5: −9 e +4. 6x² − 9x + 4x − 6 = 3x(2x − 3) + 2(2x − 3) = (2x − 3)(3x + 2).
7. Fatore x² + 10x + 25.
25 = 5 × 5 e 5 + 5 = 10. Então x² + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5) = (x + 5)².
8. Resolva x² − 5x + 6 = 0.
Fatore: (x − 2)(x − 3) = 0. Um produto só é zero se um dos fatores for zero, então x = 2 ou x = 3.
Erros comuns
- Escolher números que multiplicados dão c, mas esquecer de conferir se somados dão b.
- Errar os sinais. Se c é negativo, os dois números precisam ter sinais diferentes.
- Esquecer de multiplicar a por c quando a não é 1.
- Não desenvolver o produto no final para conferir a resposta.