O que é a bissetriz de um ângulo?
Um ângulo é formado por dois lados que partem de um mesmo ponto. Esse ponto se chama vértice.
Uma bissetriz divide algo em duas partes iguais. A bissetriz do ângulo é uma semirreta que sai do vértice e divide o ângulo em dois ângulos do mesmo tamanho.
Se o ângulo mede 80°, cada metade mede 40°. Se o ângulo é 2x, cada metade é x.
Construção com régua e compasso
Você não precisa de transferidor. Siga estes passos para qualquer ângulo com vértice O.
- Coloque a ponta do compasso em O. Trace um arco que corte os dois lados. Chame os pontos de corte de D e E.
- Coloque a ponta do compasso em D. Trace um pequeno arco dentro do ângulo.
- Mantenha a mesma abertura. Coloque a ponta do compasso em E. Trace outro arco que cruze o primeiro. Chame o ponto de cruzamento de C.
- Una O a C com a régua. A semirreta OC é a bissetriz do ângulo.
Por que funciona? OD = OE (mesmo raio) e DC = EC (mesma abertura). OC é lado comum. Assim, os triângulos ODC e OEC são congruentes pelos três lados, e seus ângulos em O são iguais.
A propriedade da equidistância
Distância de um ponto a uma reta sempre significa a menor distância, que é o segmento reto a 90°.
Propriedade: Todo ponto da bissetriz de um ângulo está à mesma distância dos dois lados.
Demonstração. Seja P um ponto da bissetriz do ângulo AOB. Trace PD ⟂ OA e PE ⟂ OB. Nos triângulos ODP e OEP: ângulo POD = ângulo POE (bissetriz), ângulo ODP = ângulo OEP = 90° e OP é comum. Por LAA₀ os triângulos são congruentes, logo PD = PE.
A recíproca: distâncias iguais significam estar na bissetriz
A recíproca inverte a afirmação: um ponto dentro de um ângulo que está à mesma distância dos dois lados fica sobre a bissetriz.
Demonstração. Sejam PD ⟂ OA, PE ⟂ OB e PD = PE. Nos triângulos retângulos ODP e OEP, a hipotenusa OP é comum e PD = PE. Pelo caso cateto-hipotenusa eles são congruentes, então ângulo POD = ângulo POE. Portanto OP divide o ângulo ao meio.
Assim, a bissetriz é exatamente o conjunto de pontos à mesma distância dos dois lados. Por isso ela é chamada de lugar geométrico (veja Lugar geométrico).
Experimente: dobre e confira
Desenhe um ângulo no papel e recorte. Dobre um lado exatamente sobre o outro. O vinco é a bissetriz. Marque um ponto qualquer no vinco. Meça a distância dele até cada lado com um esquadro. Os dois números são iguais! Depois marque um ponto fora do vinco e meça de novo: eles são diferentes.
Fórmulas e definições principais
- A bissetriz de um ângulo 2x forma dois ângulos de x cada
- P na bissetriz: PD = PE (distâncias aos dois lados)
- Recíproca: PD = PE (dentro do ângulo) significa que P está na bissetriz
- Distância de um ponto P, a uma distância d do vértice ao longo da bissetriz de um ângulo θ: PD = d × sen(θ/2)
Exemplos resolvidos
1. Um ângulo mede 80°. Quanto mede cada metade depois de dividir ao meio?
80° ÷ 2 = 40°. Cada parte mede 40°.
2. O ponto P está na bissetriz do ângulo AOB. A distância dele ao lado OA é 5 cm. Qual é a distância dele a OB?
P está na bissetriz, então as distâncias são iguais. Distância a OB = 5 cm.
3. Um ponto está a 4 cm de um lado de um ângulo e a 4 cm do outro lado. Onde ele fica?
Distâncias iguais aos dois lados, então, pela recíproca, ele fica na bissetriz do ângulo.
4. O ângulo ABC = 64° e BD é a bissetriz dele. Encontre o ângulo ABD e o ângulo DBC.
Cada metade = 64° ÷ 2 = 32°. Então o ângulo ABD = 32° e o ângulo DBC = 32°.
5. No ângulo AOB = 100°, a semirreta OC é a bissetriz e o ângulo AOC = 2x + 10. Encontre x.
A metade de 100° é 50°. Então 2x + 10 = 50, 2x = 40, x = 20.
6. AD divide o ângulo A de um triângulo ao meio. D está a 3 cm de AB. AB = 10 cm e AC = 8 cm. Encontre a área do triângulo ABC (como soma de ABD e ACD).
D está na bissetriz, então também está a 3 cm de AC. Área ABD = ½ × 10 × 3 = 15 cm². Área ACD = ½ × 8 × 3 = 12 cm². Total = 27 cm².
7. Duas ruas retas se encontram formando 60°. Um poste fica na bissetriz, a 10 m do cruzamento. Qual é a distância dele a cada rua?
Meio ângulo = 30°. Distância = 10 × sen 30° = 10 × 0,5 = 5 m de cada rua.
Erros comuns
- Medir a distância ao longo de uma linha inclinada. A distância até uma reta deve ser medida na linha de 90° (a mais curta).
- Usar aberturas de compasso diferentes nos dois arcos da construção. Mantenha a mesma abertura nos arcos que se cruzam.
- Achar que a bissetriz de um ângulo do triângulo corta o lado oposto ao meio. Isso é a mediana. A bissetriz corta o ângulo ao meio.
- Usar a recíproca para um ponto fora do ângulo sem cuidado. A afirmação vale para um ponto dentro do ângulo.