Che cos'è la bisettrice di un angolo?
Un angolo è formato da due lati che partono dallo stesso punto. Quel punto si chiama vertice.
Una bisettrice divide qualcosa in due parti uguali. La bisettrice di un angolo è una semiretta che parte dal vertice e divide l'angolo in due angoli della stessa ampiezza.
Se l'angolo è 80°, ogni metà è 40°. Se l'angolo è 2x, ogni metà è x.
Costruzione con riga e compasso
Non serve il goniometro. Segui questi passi per qualsiasi angolo con vertice O.
- Punta il compasso in O. Traccia un arco che tagli entrambi i lati. Chiama D ed E i punti di intersezione.
- Punta il compasso in D. Traccia un piccolo arco dentro l'angolo.
- Mantieni la stessa apertura. Punta il compasso in E. Traccia un altro arco che incroci il primo. Chiama C il punto d'incrocio.
- Unisci O con C usando il righello. La semiretta OC è la bisettrice.
Perché funziona? OD = OE (stesso raggio) e DC = EC (stessa apertura). OC è in comune. Quindi i triangoli ODC e OEC sono uguali per tutti e tre i lati, e i loro angoli in O sono uguali.
La proprietà dell'equidistanza
La distanza da un punto a una retta è sempre la distanza più breve, cioè il segmento dritto a 90°.
Proprietà: ogni punto della bisettrice di un angolo è alla stessa distanza da entrambi i lati.
Dimostrazione. Sia P sulla bisettrice dell'angolo AOB. Traccia PD ⟂ OA e PE ⟂ OB. Nei triangoli ODP e OEP: angolo POD = angolo POE (bisettrice), angolo ODP = angolo OEP = 90°, e OP è in comune. Per il criterio AAS i triangoli sono congruenti, quindi PD = PE.
L'inverso: stessa distanza significa sulla bisettrice
Il teorema inverso rovescia l'affermazione: un punto dentro un angolo che è alla stessa distanza dai due lati sta sulla bisettrice.
Dimostrazione. Siano PD ⟂ OA, PE ⟂ OB e PD = PE. Nei triangoli rettangoli ODP e OEP l'ipotenusa OP è in comune e PD = PE. Per il criterio RHS sono congruenti, quindi angolo POD = angolo POE. Dunque OP divide l'angolo a metà.
Quindi la bisettrice è proprio l'insieme dei punti ugualmente lontani dai due lati. Per questo si chiama luogo geometrico (vedi Luogo geometrico).
Prova tu: piega e controlla
Disegna un angolo su un foglio e ritaglialo. Piega un lato esattamente sull'altro. La piega è la bisettrice. Segna un punto qualsiasi sulla piega. Misura la sua distanza da ciascun lato con una squadra. I due numeri sono uguali! Poi segna un punto fuori dalla piega e misura di nuovo: sono diversi.
Formule e definizioni chiave
- La bisettrice di un angolo 2x forma due angoli di x ciascuno
- P sulla bisettrice: PD = PE (distanze dai due lati)
- Inverso: PD = PE (dentro l'angolo) significa che P sta sulla bisettrice
- Distanza di un punto P a distanza d dal vertice lungo la bisettrice di un angolo θ: PD = d × sin(θ/2)
Esempi svolti
1. Un angolo misura 80°. Quanto misura ciascuna metà dopo aver tracciato la bisettrice?
80° ÷ 2 = 40°. Ogni parte misura 40°.
2. Il punto P è sulla bisettrice dell'angolo AOB. La sua distanza dal lato OA è 5 cm. Qual è la sua distanza da OB?
P è sulla bisettrice, quindi le distanze sono uguali. Distanza da OB = 5 cm.
3. Un punto è a 4 cm da un lato di un angolo e a 4 cm dall'altro lato. Dove si trova?
Ha uguale distanza dai due lati, quindi per il teorema inverso sta sulla bisettrice dell'angolo.
4. L'angolo ABC = 64° e BD è la sua bisettrice. Trova l'angolo ABD e l'angolo DBC.
Ogni metà = 64° ÷ 2 = 32°. Quindi angolo ABD = 32° e angolo DBC = 32°.
5. Nell'angolo AOB = 100°, la semiretta OC è la bisettrice e l'angolo AOC = 2x + 10. Trova x.
La metà di 100° è 50°. Quindi 2x + 10 = 50, 2x = 40, x = 20.
6. AD è la bisettrice dell'angolo A di un triangolo. D dista 3 cm da AB. AB = 10 cm e AC = 8 cm. Trova l'area del triangolo ABC (come somma di ABD e ACD).
D è sulla bisettrice, quindi dista 3 cm anche da AC. Area ABD = ½ × 10 × 3 = 15 cm². Area ACD = ½ × 8 × 3 = 12 cm². Totale = 27 cm².
7. Due strade dritte si incontrano con un angolo di 60°. Un lampione è sulla bisettrice, a 10 m dall'incrocio. Quanto dista da ciascuna strada?
Metà angolo = 30°. Distanza = 10 × sin 30° = 10 × 0.5 = 5 m da ciascuna strada.
Errori comuni
- Misurare la distanza lungo una linea obliqua. La distanza da una retta deve essere il segmento a 90° (il più breve).
- Usare aperture diverse del compasso per i due archi nella costruzione. Gli archi che si incrociano vanno tracciati con la stessa apertura.
- Pensare che la bisettrice di un angolo del triangolo tagli a metà il lato opposto. Quella è una mediana. La bisettrice taglia a metà l'angolo.
- Usare il teorema inverso per un punto fuori dall'angolo senza attenzione. L'enunciato vale per un punto dentro l'angolo.