什么是角平分线？
角由从同一个点出发的两条边组成。这个点叫做顶点。
平分就是把东西分成相等的两份。角平分线是从顶点出发的一条射线，它把角分成两个大小相同的角。
如果角是 80°，每一半就是 40°。如果角是 2x，每一半就是 x。
用直尺和圆规作图
不需要量角器。对于顶点为 O 的任意角，按下面的步骤做。
- 把圆规针尖放在 O 上，画一段弧，与两条边都相交。交点记为 D 和 E。
- 把针尖放在 D 上，在角的内部画一小段弧。
- 保持圆规的开口不变，把针尖放在 E 上，再画一段弧，使它与前一段弧相交。交点记为 C。
- 用直尺把 O 和 C 连起来。射线 OC 就是角平分线。
为什么这样可行？OD = OE（半径相同），DC = EC（开口相同），OC 是公共边。所以三角形 ODC 和 OEC 三边都对应相等，全等，它们在 O 点的角也相等。
到两边距离相等的性质
点到直线的距离一律指最短的距离，也就是成 90° 的那条垂线段。
性质：角平分线上的每个点到角两边的距离都相等。
证明。设 P 在角 AOB 的平分线上。作 PD ⟂ OA，PE ⟂ OB。在三角形 ODP 和 OEP 中：角 POD = 角 POE（平分线），角 ODP = 角 OEP = 90°，OP 是公共边。根据 AAS，两个三角形全等，所以 PD = PE。
逆命题：距离相等就在平分线上
逆命题是把结论反过来说：角内部到两边距离相等的点，一定在角平分线上。
证明。设 PD ⟂ OA，PE ⟂ OB，且 PD = PE。在直角三角形 ODP 和 OEP 中，斜边 OP 是公共边，PD = PE。根据 RHS（斜边和一条直角边），两个三角形全等，所以角 POD = 角 POE。因此 OP 平分这个角。
所以，角平分线正好就是到两边距离相等的所有点组成的图形。这就是它被称为轨迹的原因（见 轨迹）。
动手试试：折一折，量一量
在纸上画一个角并剪下来。把一条边正好折到另一条边上，折痕就是角平分线。在折痕上任选一点，用三角板量出它到两条边的距离，两个数一样！再在折痕以外选一点量一量：两个数不一样。
重点公式和概念
- 2x 的角被平分后，得到两个各为 x 的角
- P 在平分线上：PD = PE（到两条边的距离）
- 逆命题：角内的点满足 PD = PE，则 P 在平分线上
- 沿平分线（角为 θ）距顶点 d 的点 P：PD = d × sin(θ/2)
例题讲解
1. 一个角是 80°。平分后每一半是多少？
80° ÷ 2 = 40°。每一份是 40°。
2. 点 P 在角 AOB 的平分线上。它到边 OA 的距离是 5 cm。它到 OB 的距离是多少？
P 在平分线上，所以两个距离相等。到 OB 的距离 = 5 cm。
3. 一个点到角的一条边是 4 cm，到另一条边也是 4 cm。它在哪里？
到两条边的距离相等，根据逆命题，它在角平分线上。
4. 角 ABC = 64°，BD 是它的平分线。求角 ABD 和角 DBC。
每一半 = 64° ÷ 2 = 32°。所以角 ABD = 32°，角 DBC = 32°。
5. 在角 AOB = 100° 中，射线 OC 是平分线，角 AOC = 2x + 10。求 x。
100° 的一半是 50°。所以 2x + 10 = 50，2x = 40，x = 20。
6. AD 平分三角形的角 A。D 到 AB 的距离是 3 cm。AB = 10 cm，AC = 8 cm。把三角形 ABC 看成 ABD 与 ACD 之和，求它的面积。
D 在平分线上，所以它到 AC 的距离也是 3 cm。面积 ABD = ½ × 10 × 3 = 15 cm²。面积 ACD = ½ × 8 × 3 = 12 cm²。总面积 = 27 cm²。
7. 两条直路以 60° 相交。一盏灯放在平分线上，距路口 10 m。它到每条路的距离是多少？
半角 = 30°。距离 = 10 × sin 30° = 10 × 0.5 = 5 m。到每条路都是 5 m。
常见错误
- 沿着斜线去量距离。点到直线的距离必须用成 90° 的（最短的）那条线。
- 作图时两段交叉的弧用了不同的圆规开口。交叉的两段弧要保持开口一样。
- 以为三角形角的平分线会把对边平分。那是中线。角平分线平分的是角。
- 不加注意地对角外面的点使用逆命题。这个结论只适用于角内部的点。