¿Qué es un trinomio cuadrático?
Un trinomio tiene tres términos. Un cuadrático tiene x² como potencia más alta. Así, x² + 5x + 6 es un trinomio cuadrático.
Su forma general es ax² + bx + c. Aquí a es el número que va delante de x², b es el número que va delante de x y c es el número que está solo.
Factorizar significa escribir la expresión como un producto de paréntesis más sencillos. Es lo contrario de desarrollar.
Velo con fichas de álgebra
Una ficha cuadrada grande tiene área x². Una tira tiene área x. Un cuadrado pequeño tiene área 1. Para x² + 5x + 6 tomas 1 cuadrado grande, 5 tiras y 6 cuadrados pequeños.
Júntalos en un solo rectángulo. El ancho es x + 3 y el alto es x + 2. El área de un rectángulo es ancho por alto, así que
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Si tus fichas no pueden formar un rectángulo, el trinomio no se puede factorizar con números enteros.
Factorizar x² + bx + c
Si desarrollas (x + m)(x + n) obtienes x² + (m + n)x + mn. Por eso necesitamos dos números m y n tales que m × n = c y m + n = b.
- Haz una lista de las parejas de números que multiplicadas dan c.
- Elige la pareja que suma b.
- Escribe (x + m)(x + n).
- Desarrolla para comprobar.
Ejemplo: x² + 7x + 12. Parejas para 12: 1 y 12, 2 y 6, 3 y 4. Solo 3 + 4 = 7. Entonces (x + 3)(x + 4).
Signos
| c | b | Los dos números | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| + | + | los dos + | x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) |
| + | − | los dos − | x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) |
| − | + | uno + y otro −; el mayor es + | x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3) |
| − | − | uno + y otro −; el mayor es − | x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3) |
Si c es positivo, los dos números tienen el mismo signo. Si c es negativo, tienen signos distintos.
Factorizar ax² + bx + c (descomponer el término medio)
Cuando a no es 1, multiplica a por c. Busca dos números que multiplicados den a × c y sumados den b. Úsalos para descomponer el término medio. Después agrupa.
Ejemplo: 2x² + 7x + 3. a × c = 6. Los números 6 y 1 multiplicados dan 6 y sumados dan 7.
2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
Las fichas coinciden: 2 cuadrados grandes, 7 tiras y 3 cuadrados pequeños forman un rectángulo de lados x + 3 y 2x + 1.
Trinomios especiales
Cuadrados perfectos: x² + 2mx + m² = (x + m)² y x² − 2mx + m² = (x − m)². Ejemplo: x² + 10x + 25 = (x + 5)². Las fichas forman un cuadrado.
Diferencia de cuadrados: x² − m² = (x − m)(x + m). No tiene término medio, porque +m y −m se anulan.
Comprueba siempre: desarrolla tus paréntesis. Debes volver a obtener la expresión original.
Pruébalo: una práctica
En el 3D, pon a = 1 y mueve p y q. Antes de mirar, predice el trinomio. Después léelo en la pantalla. En casa, corta un cuadrado de papel para x², y tiras y cuadrados pequeños de cartulina. Arma x² + 4x + 3 en un rectángulo y lee sus lados.
Fórmulas y definiciones clave
- (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn
- x² + bx + c: busca m, n con m × n = c y m + n = b
- ax² + bx + c: busca m, n con m × n = a × c y m + n = b, luego descompón y agrupa
- x² ± 2mx + m² = (x ± m)²
- x² − m² = (x − m)(x + m)
Ejemplos resueltos
1. Factoriza x² + 7x + 12.
Necesitamos dos números que multiplicados den 12 y sumados den 7. Son 3 y 4. Entonces x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
2. Factoriza x² − 8x + 15.
c es positivo y b es negativo, así que los dos números son negativos. Multiplicados dan 15 y sumados dan −8: −3 y −5. Entonces (x − 3)(x − 5).
3. Factoriza x² + 3x − 10.
c es negativo, así que un número es + y el otro es −. Multiplicados dan −10 y sumados dan 3: +5 y −2. Entonces (x + 5)(x − 2).
4. Factoriza x² − x − 20.
Multiplicados dan −20 y sumados dan −1: −5 y +4. Entonces (x − 5)(x + 4).
5. Factoriza 2x² + 7x + 3.
a × c = 6. Dos números que multiplicados dan 6 y sumados dan 7: 6 y 1. 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
6. Factoriza 6x² − 5x − 6.
a × c = −36. Dos números que multiplicados dan −36 y sumados dan −5: −9 y +4. 6x² − 9x + 4x − 6 = 3x(2x − 3) + 2(2x − 3) = (2x − 3)(3x + 2).
7. Factoriza x² + 10x + 25.
25 = 5 × 5 y 5 + 5 = 10. Entonces x² + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5) = (x + 5)².
8. Resuelve x² − 5x + 6 = 0.
Factoriza: (x − 2)(x − 3) = 0. Un producto es cero solo si un factor es cero, así que x = 2 o x = 3.
Errores comunes
- Elegir números que multiplicados dan c, pero olvidar comprobar que sumados dan b.
- Equivocarse con los signos. Si c es negativo, los dos números deben tener signos distintos.
- Olvidar multiplicar a por c cuando a no es 1.
- No desarrollar al final para comprobar la respuesta.