Che cos'è un trinomio di secondo grado?
Un trinomio ha tre termini. Un'espressione di secondo grado ha x² come potenza più alta. Quindi x² + 5x + 6 è un trinomio di secondo grado.
La sua forma generale è ax² + bx + c. Qui a è il numero davanti a x², b è il numero davanti a x e c è il numero da solo.
Scomporre significa scrivere l'espressione come prodotto di parentesi più semplici. È l'operazione opposta allo svolgere il prodotto.
Vediamolo con le tessere algebriche
Una tessera quadrata grande ha area x². Una striscia ha area x. Un quadratino ha area 1. Per x² + 5x + 6 prendi 1 quadrato grande, 5 strisce e 6 quadratini.
Uniscili in un solo rettangolo. La base è x + 3 e l'altezza è x + 2. L'area di un rettangolo è base per altezza, quindi
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Se le tessere non riescono a formare un rettangolo, il trinomio non si può scomporre con numeri interi.
Scomporre x² + bx + c
Svolgi (x + m)(x + n) e ottieni x² + (m + n)x + mn. Quindi servono due numeri m e n tali che m × n = c e m + n = b.
- Elenca le coppie di numeri che moltiplicati danno c.
- Scegli la coppia che sommata dà b.
- Scrivi (x + m)(x + n).
- Svolgi il prodotto per controllare.
Esempio: x² + 7x + 12. Coppie per 12: 1 e 12, 2 e 6, 3 e 4. Solo 3 + 4 = 7. Quindi (x + 3)(x + 4).
I segni
| c | b | I due numeri | Esempio |
|---|---|---|---|
| + | + | entrambi + | x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) |
| + | − | entrambi − | x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) |
| − | + | uno + e uno −; il più grande è + | x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3) |
| − | − | uno + e uno −; il più grande è − | x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3) |
Se c è positivo, i due numeri hanno lo stesso segno. Se c è negativo, hanno segni diversi.
Scomporre ax² + bx + c (spezzare il termine centrale)
Quando a non è 1, moltiplica a e c. Trova due numeri che moltiplicati danno a × c e sommati danno b. Usali per spezzare il termine centrale. Poi raccogli a gruppi.
Esempio: 2x² + 7x + 3. a × c = 6. I numeri 6 e 1 moltiplicati fanno 6 e sommati fanno 7.
2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
Le tessere confermano: 2 quadrati grandi, 7 strisce e 3 quadratini formano un rettangolo con lati x + 3 e 2x + 1.
Trinomi speciali
Quadrati perfetti: x² + 2mx + m² = (x + m)² e x² − 2mx + m² = (x − m)². Esempio: x² + 10x + 25 = (x + 5)². Le tessere formano un quadrato.
Differenza di quadrati: x² − m² = (x − m)(x + m). Non ha il termine centrale, perché +m e −m si annullano.
Controlla sempre: svolgi le parentesi. Devi ottenere di nuovo l'espressione di partenza.
Provalo: un'attività pratica
Nel 3D imposta a = 1 e muovi p e q. Prima di guardare, prevedi il trinomio. Poi leggilo sullo schermo. A casa, ritaglia un quadrato di carta per x², e strisce e quadratini di cartoncino. Costruisci x² + 4x + 3 in un rettangolo e leggi i suoi lati.
Formule e definizioni chiave
- (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn
- x² + bx + c: trova m, n con m × n = c e m + n = b
- ax² + bx + c: trova m, n con m × n = a × c e m + n = b, poi spezza e raccogli
- x² ± 2mx + m² = (x ± m)²
- x² − m² = (x − m)(x + m)
Esempi svolti
1. Scomponi x² + 7x + 12.
Servono due numeri che moltiplicati danno 12 e sommati danno 7. Sono 3 e 4. Quindi x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
2. Scomponi x² − 8x + 15.
c è positivo e b è negativo, quindi entrambi i numeri sono negativi. Moltiplicati fanno 15 e sommati fanno −8: −3 e −5. Quindi (x − 3)(x − 5).
3. Scomponi x² + 3x − 10.
c è negativo, quindi un numero è + e uno è −. Moltiplicati fanno −10, sommati fanno 3: +5 e −2. Quindi (x + 5)(x − 2).
4. Scomponi x² − x − 20.
Moltiplicati fanno −20, sommati fanno −1: −5 e +4. Quindi (x − 5)(x + 4).
5. Scomponi 2x² + 7x + 3.
a × c = 6. Due numeri che moltiplicati danno 6 e sommati danno 7: 6 e 1. 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
6. Scomponi 6x² − 5x − 6.
a × c = −36. Due numeri che moltiplicati danno −36 e sommati danno −5: −9 e +4. 6x² − 9x + 4x − 6 = 3x(2x − 3) + 2(2x − 3) = (2x − 3)(3x + 2).
7. Scomponi x² + 10x + 25.
25 = 5 × 5 e 5 + 5 = 10. Quindi x² + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5) = (x + 5)².
8. Risolvi x² − 5x + 6 = 0.
Scomponi: (x − 2)(x − 3) = 0. Un prodotto è zero solo se un fattore è zero, quindi x = 2 oppure x = 3.
Errori comuni
- Scegliere numeri che moltiplicati danno c ma dimenticare di controllare che sommati diano b.
- Sbagliare i segni. Se c è negativo, i due numeri devono avere segni diversi.
- Dimenticare di moltiplicare a e c quando a non è 1.
- Non svolgere il prodotto alla fine per controllare il risultato.