Variabili e costanti
Una variabile è una lettera (x, y, n, a…) che rappresenta un numero. Il suo valore può cambiare. Una costante è un numero dal valore fisso, come 5 o −2.
Perché usare le lettere? Una lettera ci permette di scrivere una sola regola per tanti numeri. "Un quadrato ha lato s" dà il perimetro 4s per ogni quadrato: s = 3 cm dà 12 cm, s = 10 cm dà 40 cm.
Un'espressione algebrica collega variabili e costanti con +, −, × o ÷. Esempi: 3x + 2, 5a − 4b, x² + 7, n/2. Un'espressione non ha il segno uguale; un'equazione sì (3x + 2 = 14).
Regole di scrittura: 3 × x si scrive 3x (prima il numero, senza il segno ×); x × x è x²; 1x è semplicemente x.
Termini, coefficienti e tipi di espressioni
Le parti di un'espressione unite da + o − sono i suoi termini. In 4x² − 3x + 7 i termini sono 4x², −3x e 7. Il segno davanti appartiene al termine.
- Coefficiente: la parte numerica di un termine. In −3x è −3. In x² è 1.
- Termine noto: un termine senza lettera (7).
- Fattori di un termine: 4x² = 4 × x × x.
Nomi in base al numero di termini
- Monomio: un termine (5y)
- Binomio: due termini (3x + 2)
- Trinomio: tre termini (x² + 2x + 1)
- Polinomio: uno o più termini con potenze intere non negative
Leggere la struttura
Guarda un'espressione come fatta di blocchi. In 5(x + 2)², tutto (x + 2) è un unico blocco che viene elevato al quadrato e poi moltiplicato per 5. Vedere i blocchi ti dice cosa fare per primo e ti aiuta a notare, per esempio, che il valore non è mai negativo.
Termini simili e semplificazione
I termini simili hanno esattamente le stesse lettere con le stesse potenze: 3x e −5x; 2ab e 7ab; 4y² e y². I termini non simili sono diversi: 3x e 3y; x e x²; x e 5.
Per sommare o sottrarre termini simili, si sommano o si sottraggono i coefficienti e si tiene la parte letterale: 7x + 2x = 9x; 5ab − 8ab = −3ab. I termini non simili restano separati: 3x + 4 non può diventare 7x.
Semplificare = raccogliere i termini simili. 2x + 3 + x + 1 = (2x + x) + (3 + 1) = 3x + 4. Le due forme sono equivalenti: danno lo stesso valore per ogni x.
Moltiplicare i termini
Si moltiplicano i numeri, poi le lettere: 3x × 4y = 12xy; 2a × 5a = 10a²; (−3m) × 2m² = −6m³.
Sostituzione: trovare il valore
Per trovare il valore di un'espressione, sostituisci ogni lettera con il suo numero e calcola rispettando l'ordine delle operazioni (parentesi, potenze, × e ÷, poi + e −).
Esempio: 2a² − 3b quando a = 3, b = −2: 2 × 3² − 3 × (−2) = 2 × 9 + 6 = 24.
Una formula è un'uguaglianza che collega delle grandezze: area del rettangolo A = lw; velocità v = d/t; interesse semplice I = PRT/100. Metti i numeri nel membro di destra per ottenere quello di sinistra. Puoi anche riscrivere una formula per isolare un'altra lettera: da v = d/t otteniamo d = vt.
Sviluppo delle parentesi e scomposizione
Sviluppare usa la proprietà distributiva: a(b + c) = ab + ac. Il termine fuori moltiplica ogni termine dentro. 3(x + 2) = 3x + 6; −2(y − 5) = −2y + 10; x(x + 4) = x² + 4x.
Nel 3D, 3(x + 2) è un rettangolo alto 3 unità e lungo x + 2: la sua area è 3x + 6.
Scomporre è l'operazione inversa: si trova il massimo comune divisore di tutti i termini e lo si porta fuori. 6x + 9 = 3(2x + 3); 4a² − 10a = 2a(2a − 5). Controlla sviluppando di nuovo.
Identità
Un'identità è vera per ogni valore delle lettere, per esempio 2(x + 3) = 2x + 6, oppure (a + b)² = a² + 2ab + b². Un'equazione come 2x = 6 è vera solo per x = 3. Le identità sono approfondite nella lezione sulle identità algebriche.
Prova tu: algebra con le tessere a casa
Ritaglia strisce di carta per x (diciamo 6 cm) e quadratini per 1 (1 cm). Disponi 2x + 3 + x + 1, poi avvicina i pezzi uguali. Conta: 3 strisce e 4 quadratini. Ora disponi 3 righe di "una striscia + due quadratini" per vedere 3(x + 2) = 3x + 6. Nel passo di gioco libero del 3D, scegli a e b e prevedi la forma sviluppata prima di guardare.
Formule e definizioni chiave
- Termine = coefficiente × parte letterale, es. −3x² ha coefficiente −3
- Termini simili: ax + bx = (a + b)x
- Proprietà distributiva: a(b + c) = ab + ac; a(b − c) = ab − ac
- Scomposizione: ab + ac = a(b + c) (si raccoglie il MCD)
- x × x = x²; xᵃ × xᵇ = xᵃ⁺ᵇ
- Identità: vera per tutti i valori; equazione: vera per alcuni valori
Esempi svolti
1. Scrivi i termini e il coefficiente di y in 5y² − 7y + 4.
Termini: 5y², −7y, 4. Coefficiente di y = −7 (il segno va con lui). Termine noto = 4.
2. Semplifica 4a + 3b − a + 5b − 2.
Raggruppa i termini simili: (4a − a) + (3b + 5b) − 2 = 3a + 8b − 2.
3. Trova il valore di 3x + 2 quando x = 4.
3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14.
4. Trova il valore di 2p² − 3q quando p = −2 e q = 5.
p² = (−2)² = 4. Quindi 2 × 4 − 3 × 5 = 8 − 15 = −7.
5. Sviluppa e semplifica 3(2x + 1) − 2(x − 4).
3(2x + 1) = 6x + 3; −2(x − 4) = −2x + 8. Somma: 6x − 2x + 3 + 8 = 4x + 11.
6. Scomponi 12m² − 18m.
Il MCD di 12 e 18 è 6; entrambi i termini hanno m. Quindi 12m² − 18m = 6m(2m − 3). Controllo: 6m × 2m = 12m², 6m × 3 = 18m. ✓
7. Un taxi chiede una quota fissa di ₹50 più ₹12 per km. Scrivi un'espressione per la tariffa per d km e calcolala per 15 km.
Tariffa = 50 + 12d. Per d = 15: 50 + 180 = ₹230.
Errori comuni
- Sommare termini non simili: 3x + 4 NON è 7x. Si possono unire solo i termini simili.
- Dimenticare il segno: in 5 − 2x il coefficiente di x è −2, non 2.
- Moltiplicare solo il primo termine: 3(x + 2) è 3x + 6, non 3x + 2.
- Elevare al quadrato un numero negativo nel modo sbagliato: quando x = −3, x² = 9 (non −9); usa le parentesi (−3)².