变量和常数
变量是用来代表数的字母（x、y、n、a……），它的值可以变化。常数是固定不变的数，比如 5 或 −2。
为什么要用字母？因为一个字母就能用一条规则表示很多个数。“正方形的边长是 s”，周长就是 4s：s = 3 厘米时是 12 厘米，s = 10 厘米时是 40 厘米。
代数式是用 +、−、×、÷ 把变量和常数连起来的式子。例如：3x + 2、5a − 4b、x² + 7、n/2。代数式里没有等号；有等号的叫方程（3x + 2 = 14）。
书写规则：3 × x 写成 3x（数字在前，不写 × 号）；x × x 写成 x²；1x 直接写成 x。
项、系数和代数式的种类
代数式中用 + 或 − 连接的各个部分叫做项。在 4x² − 3x + 7 中，项是 4x²、−3x 和 7。项前面的符号属于这一项。
- 系数：一项中的数字部分。−3x 的系数是 −3，x² 的系数是 1。
- 常数项：不含字母的项（7）。
- 一项的因数：4x² = 4 × x × x。
按项数命名
- 单项式：一项（5y）
- 二项式：两项（3x + 2）
- 三项式：三项（x² + 2x + 1）
- 多项式：由一项或多项组成，字母的次数是整数
看清式子的结构
把式子看成一块一块的。在 5(x + 2)² 中，整个 (x + 2) 是一块，先平方，再乘以 5。看清这些块，就知道先算什么，还能发现，比如它的值永远不会是负数。
同类项和化简
同类项的字母完全相同，而且相同字母的次数也相同：3x 和 −5x；2ab 和 7ab；4y² 和 y²。不同类项则不同：3x 和 3y；x 和 x²；x 和 5。
加减同类项时，把系数相加减，字母部分不变：7x + 2x = 9x；5ab − 8ab = −3ab。不同类项要分开写：3x + 4 不能变成 7x。
化简就是合并同类项。2x + 3 + x + 1 = (2x + x) + (3 + 1) = 3x + 4。这两种写法是等价的：x 取任何值，结果都一样。
项的乘法
先乘数字，再乘字母：3x × 4y = 12xy；2a × 5a = 10a²；(−3m) × 2m² = −6m³。
代入求值
要求代数式的值，就把每个字母换成对应的数，再按运算顺序计算（先括号，再乘方，然后乘除，最后加减）。
例：当 a = 3，b = −2 时，求 2a² − 3b：2 × 3² − 3 × (−2) = 2 × 9 + 6 = 24。
公式是把几个量联系起来的等式：长方形面积 A = lw；速度 v = d/t；单利 I = PRT/100。把数字代入右边，就能算出左边。你也可以变形公式，让另一个字母做主角：由 v = d/t 得 d = vt。
去括号展开和因式分解
展开用的是分配律：a(b + c) = ab + ac。括号外的项要乘括号里的每一项。3(x + 2) = 3x + 6；−2(y − 5) = −2y + 10；x(x + 4) = x² + 4x。
在3D演示中，3(x + 2) 是一个高 3 个单位、长 x + 2 的长方形：它的面积是 3x + 6。
因式分解是反过来做：找出所有项的最大公因式，把它提到括号外面。6x + 9 = 3(2x + 3)；4a² − 10a = 2a(2a − 5)。可以展开回去检查。
恒等式
恒等式是字母取任何值都成立的等式，例如 2(x + 3) = 2x + 6，或 (a + b)² = a² + 2ab + b²。而像 2x = 6 这样的方程只在 x = 3 时才成立。恒等式会在“代数恒等式”这一课里更深入地学习。
动手试试：在家玩代数方块
剪几条纸条表示 x（比如 6 厘米长），再剪几个小方块表示 1（1 厘米）。摆出 2x + 3 + x + 1，再把同类的放在一起。数一数：3 条纸条和 4 个小方块。接着摆 3 行“一条纸条加两个小方块”，看看 3(x + 2) = 3x + 6。在3D自由练习这一步，先设定 a 和 b，在看答案之前猜一猜展开式是什么。
重点公式和概念
- 项 = 系数 × 字母部分，例如 −3x² 的系数是 −3
- 同类项：ax + bx = (a + b)x
- 分配律：a(b + c) = ab + ac; a(b − c) = ab − ac
- 因式分解：ab + ac = a(b + c)（提出最大公因式）
- x × x = x²; xᵃ × xᵇ = xᵃ⁺ᵇ
- 恒等式：对所有值都成立；方程：只对某些值成立
例题讲解
1. 写出 5y² − 7y + 4 的各项，以及 y 的系数。
各项：5y²、−7y、4。y 的系数 = −7（符号要带上）。常数项 = 4。
2. 化简 4a + 3b − a + 5b − 2。
把同类项放在一起：(4a − a) + (3b + 5b) − 2 = 3a + 8b − 2。
3. 当 x = 4 时，求 3x + 2 的值。
3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14。
4. 当 p = −2，q = 5 时，求 2p² − 3q 的值。
p² = (−2)² = 4。所以 2 × 4 − 3 × 5 = 8 − 15 = −7。
5. 展开并化简 3(2x + 1) − 2(x − 4)。
3(2x + 1) = 6x + 3；−2(x − 4) = −2x + 8。相加：6x − 2x + 3 + 8 = 4x + 11。
6. 分解因式 12m² − 18m。
12 和 18 的最大公因数是 6，两项都有 m。所以 12m² − 18m = 6m(2m − 3)。检查：6m × 2m = 12m²，6m × 3 = 18m。✓
7. 一辆出租车起步价固定 ₹50，每公里再收 ₹12。写出行驶 d 公里的车费表达式，并求 15 公里的车费。
车费 = 50 + 12d。当 d = 15 时：50 + 180 = ₹230。
常见错误
- 把不同类项相加：3x + 4 不等于 7x。只有同类项才能合并。
- 忘记符号：在 5 − 2x 中，x 的系数是 −2，不是 2。
- 只乘第一项：3(x + 2) 等于 3x + 6，不是 3x + 2。
- 负数平方出错：当 x = −3 时，x² = 9（不是 −9）；要写成带括号的 (−3)²。