Variables et constantes
Une variable est une lettre (x, y, n, a…) qui représente un nombre. Sa valeur peut changer. Une constante est un nombre dont la valeur est fixe, comme 5 ou −2.
Pourquoi utiliser des lettres ? Une lettre permet d'écrire une seule règle pour plein de nombres. « Un carré a un côté s » donne le périmètre 4s pour tous les carrés : s = 3 cm donne 12 cm, s = 10 cm donne 40 cm.
Une expression algébrique relie des variables et des constantes avec +, −, × ou ÷. Exemples : 3x + 2, 5a − 4b, x² + 7, n/2. Une expression n'a pas de signe égal ; une équation en a un (3x + 2 = 14).
Règles d'écriture : 3 × x s'écrit 3x (le nombre d'abord, sans signe ×) ; x × x s'écrit x² ; 1x s'écrit simplement x.
Termes, coefficients et types d'expressions
Les morceaux d'une expression reliés par + ou − sont ses termes. Dans 4x² − 3x + 7, les termes sont 4x², −3x et 7. Le signe devant fait partie du terme.
- Coefficient : la partie numérique d'un terme. Dans −3x, c'est −3. Dans x², c'est 1.
- Terme constant : un terme sans lettre (7).
- Facteurs d'un terme : 4x² = 4 × x × x.
Nom selon le nombre de termes
- Monôme : un seul terme (5y)
- Binôme : deux termes (3x + 2)
- Trinôme : trois termes (x² + 2x + 1)
- Polynôme : un ou plusieurs termes avec des puissances entières
Lire la structure
Regarde une expression comme des blocs. Dans 5(x + 2)², le bloc (x + 2) est élevé au carré, puis multiplié par 5. Voir les blocs te dit quoi faire en premier et t'aide à repérer, par exemple, que la valeur n'est jamais négative.
Termes semblables et réduction
Les termes semblables ont exactement les mêmes lettres avec les mêmes puissances : 3x et −5x ; 2ab et 7ab ; 4y² et y². Les termes non semblables diffèrent : 3x et 3y ; x et x² ; x et 5.
Pour additionner ou soustraire des termes semblables, on additionne ou soustrait les coefficients et on garde la partie littérale : 7x + 2x = 9x ; 5ab − 8ab = −3ab. Les termes non semblables restent séparés : 3x + 4 ne peut pas devenir 7x.
Réduire = regrouper les termes semblables. 2x + 3 + x + 1 = (2x + x) + (3 + 1) = 3x + 4. Les deux écritures sont équivalentes : elles donnent la même valeur pour tout x.
Multiplier des termes
On multiplie les nombres, puis les lettres : 3x × 4y = 12xy ; 2a × 5a = 10a² ; (−3m) × 2m² = −6m³.
Substitution : trouver la valeur
Pour trouver la valeur d'une expression, remplace chaque lettre par son nombre et calcule en respectant l'ordre des opérations (parenthèses, puissances, × et ÷, puis + et −).
Exemple : 2a² − 3b quand a = 3, b = −2 : 2 × 3² − 3 × (−2) = 2 × 9 + 6 = 24.
Une formule est une égalité qui relie des grandeurs : aire d'un rectangle A = lw ; vitesse v = d/t ; intérêt simple I = PRT/100. On met les nombres dans le membre de droite pour obtenir celui de gauche. On peut aussi transformer une formule pour isoler une autre lettre : de v = d/t on tire d = vt.
Développer et factoriser
Développer utilise la distributivité : a(b + c) = ab + ac. Le terme de devant multiplie chaque terme à l'intérieur. 3(x + 2) = 3x + 6 ; −2(y − 5) = −2y + 10 ; x(x + 4) = x² + 4x.
Dans la 3D, 3(x + 2) est un rectangle de 3 unités de haut et de x + 2 de long : son aire est 3x + 6.
Factoriser est l'opération inverse : on cherche le plus grand facteur commun de tous les termes et on le met devant. 6x + 9 = 3(2x + 3) ; 4a² − 10a = 2a(2a − 5). Vérifie en redéveloppant.
Identités
Une identité est vraie pour toutes les valeurs des lettres, par exemple 2(x + 3) = 2x + 6, ou (a + b)² = a² + 2ab + b². Une équation comme 2x = 6 n'est vraie que pour x = 3. Les identités sont étudiées plus en détail dans la leçon sur les identités algébriques.
Essaie : l'algèbre en tuiles à la maison
Découpe des bandes de papier pour x (disons 6 cm) et de petits carrés pour 1 (1 cm). Pose 2x + 3 + x + 1, puis rassemble les pièces semblables. Compte : 3 bandes et 4 carrés. Pose maintenant 3 rangées de « une bande + deux carrés » pour voir que 3(x + 2) = 3x + 6. Dans l'étape 3D de jeu libre, choisis a et b et devine la forme développée avant de regarder.
Formules et définitions clés
- Terme = coefficient × partie littérale, par ex. −3x² a pour coefficient −3
- Termes semblables : ax + bx = (a + b)x
- Distributivité : a(b + c) = ab + ac ; a(b − c) = ab − ac
- Factoriser : ab + ac = a(b + c) (mettre le PGCD en facteur)
- x × x = x² ; xᵃ × xᵇ = xᵃ⁺ᵇ
- Identité : vraie pour toutes les valeurs ; équation : vraie pour certaines valeurs
Exemples résolus
1. Écris les termes et le coefficient de y dans 5y² − 7y + 4.
Termes : 5y², −7y, 4. Coefficient de y = −7 (le signe va avec lui). Constante = 4.
2. Réduis 4a + 3b − a + 5b − 2.
On regroupe les termes semblables : (4a − a) + (3b + 5b) − 2 = 3a + 8b − 2.
3. Trouve la valeur de 3x + 2 quand x = 4.
3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14.
4. Trouve la valeur de 2p² − 3q quand p = −2 et q = 5.
p² = (−2)² = 4. Donc 2 × 4 − 3 × 5 = 8 − 15 = −7.
5. Développe et réduis 3(2x + 1) − 2(x − 4).
3(2x + 1) = 6x + 3 ; −2(x − 4) = −2x + 8. On additionne : 6x − 2x + 3 + 8 = 4x + 11.
6. Factorise 12m² − 18m.
Le PGCD de 12 et 18 est 6 ; les deux termes contiennent m. Donc 12m² − 18m = 6m(2m − 3). Vérification : 6m × 2m = 12m², 6m × 3 = 18m. ✓
7. Un taxi facture 50 ₹ fixes plus 12 ₹ par km. Écris une expression du prix pour d km et calcule-le pour 15 km.
Prix = 50 + 12d. Pour d = 15 : 50 + 180 = 230 ₹.
Erreurs fréquentes
- Additionner des termes non semblables : 3x + 4 n'est PAS 7x. Seuls les termes semblables se regroupent.
- Oublier le signe : dans 5 − 2x, le coefficient de x est −2, pas 2.
- Ne multiplier que le premier terme : 3(x + 2) vaut 3x + 6, pas 3x + 2.
- Mal élever un nombre négatif au carré : quand x = −3, x² = 9 (pas −9) ; utilise des parenthèses (−3)².