Qu'est-ce qu'un trinôme du second degré ?
Un trinôme a trois termes. Un polynôme du second degré a x² comme plus grande puissance. Donc x² + 5x + 6 est un trinôme du second degré.
Sa forme générale est ax² + bx + c. Ici, a est le nombre devant x², b est le nombre devant x, et c est le nombre seul.
Factoriser veut dire écrire l'expression comme un produit de parenthèses plus simples. C'est le contraire de développer.
Le voir avec des tuiles algébriques
Un grand carré a pour aire x². Une bande a pour aire x. Un petit carré a pour aire 1. Pour x² + 5x + 6, tu prends 1 grand carré, 5 bandes et 6 petits carrés.
Assemble-les en un rectangle. La largeur est x + 3 et la hauteur est x + 2. L'aire d'un rectangle est largeur fois hauteur, donc
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Si tes tuiles ne peuvent pas former un rectangle, le trinôme ne peut pas se factoriser avec des nombres entiers.
Factoriser x² + bx + c
Développe (x + m)(x + n) et tu obtiens x² + (m + n)x + mn. Il nous faut donc deux nombres m et n tels que m × n = c et m + n = b.
- Liste les paires de nombres dont le produit est c.
- Choisis la paire dont la somme est b.
- Écris (x + m)(x + n).
- Développe pour vérifier.
Exemple : x² + 7x + 12. Paires pour 12 : 1 et 12, 2 et 6, 3 et 4. Seule la paire 3 + 4 donne 7. Donc (x + 3)(x + 4).
Les signes
| c | b | Les deux nombres | Exemple |
|---|---|---|---|
| + | + | les deux + | x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) |
| + | − | les deux − | x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) |
| − | + | un + et un − ; le plus grand est + | x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3) |
| − | − | un + et un − ; le plus grand est − | x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3) |
Si c est positif, les deux nombres ont le même signe. Si c est négatif, ils ont des signes différents.
Factoriser ax² + bx + c (couper le terme du milieu)
Quand a n'est pas égal à 1, multiplie a et c. Cherche deux nombres dont le produit est a × c et la somme est b. Utilise-les pour couper le terme du milieu. Ensuite, regroupe.
Exemple : 2x² + 7x + 3. a × c = 6. Les nombres 6 et 1 ont pour produit 6 et pour somme 7.
2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
Les tuiles sont d'accord : 2 grands carrés, 7 bandes et 3 petits carrés forment un rectangle de côtés x + 3 et 2x + 1.
Trinômes spéciaux
Carrés parfaits : x² + 2mx + m² = (x + m)² et x² − 2mx + m² = (x − m)². Exemple : x² + 10x + 25 = (x + 5)². Les tuiles forment un carré.
Différence de deux carrés : x² − m² = (x − m)(x + m). Il n'y a pas de terme du milieu, parce que +m et −m s'annulent.
Vérifie toujours : développe tes parenthèses. Tu dois retrouver l'expression de départ.
À toi : une activité pratique
Dans la 3D, mets a = 1 et bouge p et q. Avant de regarder, devine le trinôme. Ensuite, lis-le à l'écran. À la maison, découpe un carré de papier pour x², puis des bandes et des petits carrés dans du carton. Assemble x² + 4x + 3 en un rectangle et lis ses côtés.
Formules et définitions clés
- (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn
- x² + bx + c : trouver m, n avec m × n = c et m + n = b
- ax² + bx + c : trouver m, n avec m × n = a × c et m + n = b, puis couper et regrouper
- x² ± 2mx + m² = (x ± m)²
- x² − m² = (x − m)(x + m)
Exemples résolus
1. Factorise x² + 7x + 12.
Il nous faut deux nombres de produit 12 et de somme 7. Ce sont 3 et 4. Donc x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
2. Factorise x² − 8x + 15.
c est positif et b est négatif, donc les deux nombres sont négatifs. Produit 15 et somme −8 : −3 et −5. Donc (x − 3)(x − 5).
3. Factorise x² + 3x − 10.
c est négatif, donc un nombre est + et l'autre est −. Produit −10, somme 3 : +5 et −2. Donc (x + 5)(x − 2).
4. Factorise x² − x − 20.
Produit −20, somme −1 : −5 et +4. Donc (x − 5)(x + 4).
5. Factorise 2x² + 7x + 3.
a × c = 6. Deux nombres de produit 6 et de somme 7 : 6 et 1. 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
6. Factorise 6x² − 5x − 6.
a × c = −36. Deux nombres de produit −36 et de somme −5 : −9 et +4. 6x² − 9x + 4x − 6 = 3x(2x − 3) + 2(2x − 3) = (2x − 3)(3x + 2).
7. Factorise x² + 10x + 25.
25 = 5 × 5 et 5 + 5 = 10. Donc x² + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5) = (x + 5)².
8. Résous x² − 5x + 6 = 0.
Factorise : (x − 2)(x − 3) = 0. Un produit est nul seulement si un facteur est nul, donc x = 2 ou x = 3.
Erreurs fréquentes
- Choisir des nombres dont le produit est c, mais oublier de vérifier que leur somme est b.
- Se tromper dans les signes. Si c est négatif, les deux nombres doivent avoir des signes différents.
- Oublier de multiplier a et c quand a n'est pas égal à 1.
- Ne pas développer à la fin pour vérifier la réponse.