Wat is een kwadratische drieterm?
Een drieterm heeft drie termen. Bij een kwadratische uitdrukking is x² de hoogste macht. Dus x² + 5x + 6 is een kwadratische drieterm.
De algemene vorm is ax² + bx + c. Hierin is a het getal voor x², b het getal voor x en c het getal zonder x.
Ontbinden betekent de uitdrukking schrijven als een product van eenvoudiger haakjes. Het is het omgekeerde van haakjes uitwerken.
Zie het met algebrategels
Een grote vierkante tegel heeft oppervlakte x². Een strook heeft oppervlakte x. Een klein vierkantje heeft oppervlakte 1. Voor x² + 5x + 6 neem je 1 groot vierkant, 5 stroken en 6 kleine vierkantjes.
Leg ze samen tot één rechthoek. De breedte is x + 3 en de hoogte is x + 2. De oppervlakte van een rechthoek is breedte maal hoogte, dus
x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
Als je met de tegels geen rechthoek kunt maken, kun je de drieterm niet ontbinden met hele getallen.
x² + bx + c ontbinden
Werk (x + m)(x + n) uit en je krijgt x² + (m + n)x + mn. We zoeken dus twee getallen m en n met m × n = c en m + n = b.
- Maak een lijst van de getallenparen met product c.
- Kies het paar met som b.
- Schrijf (x + m)(x + n).
- Werk uit om te controleren.
Voorbeeld: x² + 7x + 12. Paren voor 12: 1 en 12, 2 en 6, 3 en 4. Alleen 3 + 4 = 7. Dus (x + 3)(x + 4).
Tekens
| c | b | De twee getallen | Voorbeeld |
|---|---|---|---|
| + | + | beide + | x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4) |
| + | − | beide − | x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) |
| − | + | één + en één −; het grootste is + | x² + 2x − 15 = (x + 5)(x − 3) |
| − | − | één + en één −; het grootste is − | x² − 2x − 15 = (x − 5)(x + 3) |
Als c positief is, hebben beide getallen hetzelfde teken. Als c negatief is, hebben ze verschillende tekens.
ax² + bx + c ontbinden (de middelste term splitsen)
Als a niet 1 is, vermenigvuldig dan a en c. Zoek twee getallen met product a × c en som b. Gebruik ze om de middelste term te splitsen. Groepeer daarna.
Voorbeeld: 2x² + 7x + 3. a × c = 6. De getallen 6 en 1 hebben product 6 en som 7.
2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
De tegels kloppen hiermee: 2 grote vierkanten, 7 stroken en 3 kleine vierkantjes vormen een rechthoek met zijden x + 3 en 2x + 1.
Bijzondere drietermen
Kwadraten van een som of verschil: x² + 2mx + m² = (x + m)² en x² − 2mx + m² = (x − m)². Voorbeeld: x² + 10x + 25 = (x + 5)². De tegels vormen een vierkant.
Verschil van twee kwadraten: x² − m² = (x − m)(x + m). Er is geen middelste term, omdat +m en −m elkaar opheffen.
Controleer altijd: werk je haakjes uit. Je moet de oorspronkelijke uitdrukking terugkrijgen.
Probeer het: een praktijkopdracht
Zet in de 3D a = 1 en beweeg p en q. Voorspel eerst de drieterm voordat je kijkt. Lees hem daarna van het scherm af. Knip thuis een vierkant van papier voor x², en stroken en kleine vierkantjes van karton. Leg x² + 4x + 3 samen tot een rechthoek en lees de zijden af.
Belangrijke formules en begrippen
- (x + m)(x + n) = x² + (m + n)x + mn
- x² + bx + c: zoek m, n met m × n = c en m + n = b
- ax² + bx + c: zoek m, n met m × n = a × c en m + n = b, splits dan en groepeer
- x² ± 2mx + m² = (x ± m)²
- x² − m² = (x − m)(x + m)
Uitgewerkte voorbeelden
1. Ontbind x² + 7x + 12.
We zoeken twee getallen met product 12 en som 7. Dat zijn 3 en 4. Dus x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
2. Ontbind x² − 8x + 15.
c is positief en b is negatief, dus beide getallen zijn negatief. Product 15 en som −8: −3 en −5. Dus (x − 3)(x − 5).
3. Ontbind x² + 3x − 10.
c is negatief, dus één getal is + en één is −. Product −10, som 3: +5 en −2. Dus (x + 5)(x − 2).
4. Ontbind x² − x − 20.
Product −20, som −1: −5 en +4. Dus (x − 5)(x + 4).
5. Ontbind 2x² + 7x + 3.
a × c = 6. Twee getallen met product 6 en som 7: 6 en 1. 2x² + 6x + x + 3 = 2x(x + 3) + 1(x + 3) = (x + 3)(2x + 1).
6. Ontbind 6x² − 5x − 6.
a × c = −36. Twee getallen met product −36 en som −5: −9 en +4. 6x² − 9x + 4x − 6 = 3x(2x − 3) + 2(2x − 3) = (2x − 3)(3x + 2).
7. Ontbind x² + 10x + 25.
25 = 5 × 5 en 5 + 5 = 10. Dus x² + 10x + 25 = (x + 5)(x + 5) = (x + 5)².
8. Los op x² − 5x + 6 = 0.
Ontbind: (x − 2)(x − 3) = 0. Een product is alleen nul als een factor nul is, dus x = 2 of x = 3.
Veelgemaakte fouten
- Getallen kiezen met product c, maar vergeten te controleren of de som b is.
- De tekens verkeerd hebben. Als c negatief is, moeten de twee getallen verschillende tekens hebben.
- Vergeten a en c te vermenigvuldigen als a niet 1 is.
- Aan het eind niet uitwerken om het antwoord te controleren.