Wat is een woordprobleem?
Een woordprobleem is een kort verhaal met getallen, en een of meer getallen zijn verborgen. Onze taak is ze te vinden.
Met rekenen kun je het antwoord vinden door getallen uit te proberen. Algebra is sneller en veiliger: we geven het verborgen getal een letter (zoals x) en rekenen er dan mee als met elk ander getal. De letter heet het onbekende of de variabele.
Kijk naar de 3D-balans hierboven. Mia's potloden zijn een blauwe stapel van x blokjes. Op de linkerschaal liggen alle potloden, op de rechterschaal ligt 13. Gelijke schalen betekenen een ware vergelijking.
De algebraïsche methode in vier stappen
- Benoem het onbekende. Schrijf precies op wat het betekent, bijvoorbeeld: stel x = het aantal potloden van Mia. Vergeet de eenheid niet.
- Vergelijking. Zeg het verhaal in wiskunde. Woorden als meer dan betekenen +, minder dan betekenen −, keer of dubbel betekenen ×, is of totaal betekent vaak =.
- Los op. Doe aan beide kanten hetzelfde tot x alleen staat.
- Controleer. Vul het antwoord in het verhaal in, niet alleen in je vergelijking. Schrijf het antwoord daarna in een hele zin met de eenheid.
Vertaal zorgvuldig: 5 meer dan x is x + 5, maar 5 minder dan x is x − 5 en x minder dan 5 is 5 − x.
Veelvoorkomende soorten woordproblemen
Getallen- en leeftijdsproblemen
Twee opeenvolgende getallen: x en x + 1. Drie opeenvolgende even getallen: x, x + 2, x + 4. Bij leeftijden geldt: na n jaar is iedereen n jaar ouder.
Bewegingsproblemen
afstand = snelheid × tijd. Als twee reizigers naar elkaar toe bewegen, tel je hun snelheden op. Op een rivier vaart een boot met (bootsnelheid + stroomsnelheid) stroomafwaarts en met (bootsnelheid − stroomsnelheid) stroomopwaarts.
Werkproblemen
Als een kraan een tank in 6 uur vult, vult hij in 1 uur 1/6 van de tank. Tel de delen op die in één uur klaar zijn en bereken de hele tijd.
Procent- en mengproblemen
Een deel is een percentage van het geheel: deel = (p/100) × geheel. Tel de hoeveelheden zuivere stof in elk mengsel op om de vergelijking te maken.
Vormproblemen
Gebruik oppervlakte = lengte × breedte, omtrek = 2(lengte + breedte). Het verhaal vertelt vaak hoe de ene zijde samenhangt met de andere.
Twee onbekenden en kwadratische vergelijkingen
Soms heeft een verhaal twee verborgen getallen, zoals de prijs van een pen en de prijs van een schrift. Dan gebruiken we twee letters en schrijven we twee vergelijkingen. We lossen ze op door op te tellen, af te trekken of in te vullen (een stelsel van lineaire vergelijkingen).
Soms bevat de vergelijking x². Een rechthoek heeft bijvoorbeeld lengte (w + 3) en oppervlakte 40, dus w(w + 3) = 40, wat w² + 3w − 40 = 0 geeft. Oplossen geeft twee wortels, maar het verhaal staat misschien maar één toe. Een lengte kan niet negatief zijn, dus verwerpen we die wortel. Test elke wortel altijd in het verhaal.
Probeer het zelf: een balans thuis
Neem een liniaal en een potlood als wip, twee kleine bekers en 20 gelijke munten of bonen. Doe een aantal bonen in een beker en verstop ze onder een doek: dat aantal is x. Vraag een vriend om dezelfde beker aan de andere kant te zetten en aan één kant 3 bonen toe te voegen. Voorspel eerst: hoeveel bonen zitten er in de beker als de wip in evenwicht blijft wanneer de andere kant 13 heeft? Haal dan de doek weg en controleer. Schrijf de vergelijking op die je gebruikte.
Belangrijke formules en begrippen
- Stappen: Benoem het onbekende → Vergelijking → Los op → Controleer
- Opeenvolgende getallen: x, x + 1, x + 2
- afstand = snelheid × tijd
- Naar elkaar toe: (snelheid A + snelheid B) × tijd = afstand
- Rivier: stroomafwaarts = boot + rivier, stroomopwaarts = boot − rivier
- Werk: delen per uur tel je op; tijd samen = 1 ÷ (1/a + 1/b)
- Rechthoek: oppervlakte = lengte × breedte, omtrek = 2(lengte + breedte)
Uitgewerkte voorbeelden
1. De som van twee opeenvolgende getallen is 41. Zoek ze.
Stel het kleinste getal is x. Het volgende is x + 1. Vergelijking: x + (x + 1) = 41, dus 2x + 1 = 41, 2x = 40, x = 20. De getallen zijn 20 en 21. Controle: 20 + 21 = 41.
2. Een vader is 4 keer zo oud als zijn zoon. Over 5 jaar is de som van hun leeftijden 55. Bereken hun leeftijden nu.
Stel de zoon is x jaar, de vader 4x. Over 5 jaar: (x + 5) + (4x + 5) = 55, dus 5x + 10 = 55, 5x = 45, x = 9. Zoon 9, vader 36. Controle: over 5 jaar 14 + 41 = 55.
3. Twee steden liggen 180 km uit elkaar. Uit elke stad vertrekt tegelijk een auto naar de andere stad, met 50 km/h en 40 km/h. Wanneer ontmoeten ze elkaar?
Stel de tijd is t uur. Afstanden: 50t + 40t = 180, dus 90t = 180, t = 2. Ze ontmoeten elkaar na 2 uur. Controle: 100 km + 80 km = 180 km.
4. Een kraan vult een tank in 6 uur. Een tweede kraan vult hem in 3 uur. Hoe lang doen ze er samen over?
In 1 uur vullen de kranen 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 van de tank. Dus de hele tank duurt 2 uur.
5. 3 pennen en 2 schriften kosten Rs 70. 2 pennen en 3 schriften kosten Rs 80. Bereken de prijs van een pen en van een schrift.
Stel een pen kost p en een schrift n. 3p + 2n = 70 en 2p + 3n = 80. Trek de tweede van de eerste af: p − n = −10. Tel ze op: 5p + 5n = 150, dus p + n = 30. Dan is n = p + 10, dus 2p + 10 = 30, p = 10, n = 20. Een pen kost Rs 10 en een schrift Rs 20. Controle: 30 + 40 = 70 en 20 + 60 = 80.
6. Een rechthoek is 3 m langer dan breed. De oppervlakte is 40 m². Bereken de zijden.
Stel de breedte is w m. Lengte w + 3. Oppervlakte: w(w + 3) = 40, dus w² + 3w − 40 = 0. Ontbind: (w + 8)(w − 5) = 0, dus w = −8 of w = 5. Een breedte kan niet negatief zijn, dus w = 5 m en de lengte is 8 m. Controle: 5 × 8 = 40.
7. Een boot vaart 36 km stroomafwaarts en 36 km terug stroomopwaarts in totaal 9 uur. De rivier stroomt met 3 km/h. Bereken de snelheid van de boot in stilstaand water.
Stel de snelheid van de boot is v km/h. Tijd = afstand ÷ snelheid, dus 36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 9. Vermenigvuldig met (v + 3)(v − 3): 36(v − 3) + 36(v + 3) = 9(v² − 9), dus 72v = 9v² − 81, v² − 8v − 9 = 0, (v − 9)(v + 1) = 0. v = 9 (een snelheid kan niet negatief zijn). Controle: 36/12 + 36/6 = 3 + 6 = 9 uur.
Veelgemaakte fouten
- Vergelijkingen opschrijven zonder te zeggen wat x betekent. Schrijf altijd: stel x = ... met de eenheid.
- 'Minder dan' door elkaar halen. 5 minder dan x is x − 5, niet 5 − x.
- Alleen in de vergelijking controleren. Als je de vergelijking verkeerd hebt opgesteld, klopt de controle toch. Controleer in het verhaal.
- Een antwoord houden dat niet bij het verhaal past, zoals een negatieve lengte of een half mens zoals 2,5 kinderen.