Что такое текстовая задача?
Текстовая задача — это короткая история с числами, в которой одно или несколько чисел спрятаны. Наша работа — найти их.
В арифметике ответ можно искать подбором. Алгебра быстрее и надёжнее: мы даём спрятанному числу букву (например, x) и дальше работаем с ней как с обычным числом. Такая буква называется неизвестным или переменной.
Посмотри на 3D-весы выше. Карандаши Маши — это синяя стопка из x блоков. На левой чаше лежат все карандаши, на правой — 13. Равные чаши значат верное равенство.
Алгебраический метод в четыре шага
- Назови неизвестное. Запиши точно, что оно значит, например: пусть x — число карандашей у Маши. Не забудь единицу измерения.
- Уравнение. Расскажи историю на языке математики. Слова больше на значат +, меньше на значат −, во столько раз или вдвое значат ×, а равно или всего часто значат =.
- Реши. Делай одно и то же с обеими сторонами, пока x не останется один.
- Проверь. Подставь ответ в историю, а не только в своё уравнение. Потом запиши ответ полным предложением с единицей измерения.
Переводи внимательно: на 5 больше, чем x — это x + 5, но на 5 меньше, чем x — это x − 5, а на x меньше, чем 5 — это 5 − x.
Основные виды текстовых задач
Задачи на числа и возраст
Два последовательных числа: x и x + 1. Три последовательных чётных числа: x, x + 2, x + 4. В задачах на возраст помни: через n лет все становятся старше на n лет.
Задачи на движение
расстояние = скорость × время. Если двое движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. На реке лодка идёт со скоростью (собственная скорость + скорость течения) по течению и (собственная скорость − скорость течения) против течения.
Задачи на работу
Если кран наполняет бак за 6 часов, то за 1 час он наполняет 1/6 бака. Сложи части, сделанные за один час, и найди общее время.
Задачи на проценты и смеси
Часть — это процент от целого: часть = (p/100) × целое. Чтобы составить уравнение, сложи количества чистого вещества в каждой смеси.
Задачи на фигуры
Используй площадь = длина × ширина, периметр = 2(длина + ширина). Обычно в условии сказано, как одна сторона связана с другой.
Два неизвестных и квадратные уравнения
Иногда в истории два спрятанных числа, например цена ручки и цена тетради. Тогда берём две буквы и записываем два уравнения. Решаем их сложением, вычитанием или подстановкой (это система линейных уравнений).
Иногда в уравнении есть x². Например, у прямоугольника длина (w + 3) и площадь 40, значит w(w + 3) = 40, откуда w² + 3w − 40 = 0. У такого уравнения два корня, но условие может подходить только одному. Длина не бывает отрицательной, поэтому лишний корень мы отбрасываем. Всегда проверяй каждый корень по условию.
Попробуй сам: весы дома
Возьми линейку и карандаш как качели, две маленькие чашки и 20 одинаковых монет или фасолин. Положи несколько фасолин в чашку и спрячь под платок: это число x. Попроси друга поставить такую же чашку на другую сторону и добавить 3 фасолины с одной стороны. Сначала угадай: сколько фасолин в чашке, если качели остаются ровными, когда на другой стороне 13? Потом открой платок и проверь. Запиши уравнение, которым ты пользовался.
Главные формулы и определения
- Шаги: Назови неизвестное → Уравнение → Реши → Проверь
- Последовательные числа: x, x + 1, x + 2
- расстояние = скорость × время
- Встречное движение: (скорость A + скорость B) × время = расстояние
- Река: по течению = лодка + река, против течения = лодка − река
- Работа: части за час складываются; общее время = 1 ÷ (1/a + 1/b)
- Прямоугольник: площадь = длина × ширина, периметр = 2(длина + ширина)
Разобранные примеры
1. Сумма двух последовательных чисел равна 41. Найди их.
Пусть меньшее число x. Следующее — x + 1. Уравнение: x + (x + 1) = 41, значит 2x + 1 = 41, 2x = 40, x = 20. Числа 20 и 21. Проверка: 20 + 21 = 41.
2. Отец в 4 раза старше сына. Через 5 лет сумма их возрастов будет 55. Найди их возраст сейчас.
Пусть сыну x лет, тогда отцу 4x. Через 5 лет: (x + 5) + (4x + 5) = 55, значит 5x + 10 = 55, 5x = 45, x = 9. Сыну 9, отцу 36. Проверка: через 5 лет 14 + 41 = 55.
3. Два города находятся на расстоянии 180 км. Из каждого города одновременно выезжает машина навстречу другой со скоростью 50 км/ч и 40 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Пусть время t часов. Расстояния: 50t + 40t = 180, значит 90t = 180, t = 2. Они встретятся через 2 часа. Проверка: 100 км + 80 км = 180 км.
4. Один кран наполняет бак за 6 часов. Второй кран наполняет его за 3 часа. За сколько часов они наполнят бак вместе?
За 1 час краны наполняют 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 бака. Значит, весь бак наполнится за 2 часа.
5. 3 ручки и 2 тетради стоят 70 рупий. 2 ручки и 3 тетради стоят 80 рупий. Найди цену ручки и цену тетради.
Пусть ручка стоит p, а тетрадь n. 3p + 2n = 70 и 2p + 3n = 80. Вычтем второе из первого: p − n = −10. Сложим их: 5p + 5n = 150, значит p + n = 30. Тогда n = p + 10, поэтому 2p + 10 = 30, p = 10, n = 20. Ручка стоит 10 рупий, тетрадь 20 рупий. Проверка: 30 + 40 = 70 и 20 + 60 = 80.
6. Длина прямоугольника на 3 м больше его ширины. Площадь равна 40 м². Найди стороны.
Пусть ширина w м. Длина w + 3. Площадь: w(w + 3) = 40, значит w² + 3w − 40 = 0. Разложим: (w + 8)(w − 5) = 0, значит w = −8 или w = 5. Ширина не может быть отрицательной, поэтому w = 5 м, а длина 8 м. Проверка: 5 × 8 = 40.
7. Лодка проходит 36 км по течению и 36 км обратно против течения за 9 часов в сумме. Скорость течения реки 3 км/ч. Найди скорость лодки в стоячей воде.
Пусть скорость лодки v км/ч. Время = расстояние ÷ скорость, значит 36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 9. Умножим на (v + 3)(v − 3): 36(v − 3) + 36(v + 3) = 9(v² − 9), значит 72v = 9v² − 81, v² − 8v − 9 = 0, (v − 9)(v + 1) = 0. v = 9 (скорость не бывает отрицательной). Проверка: 36/12 + 36/6 = 3 + 6 = 9 часов.
Частые ошибки
- Начинать писать уравнения, не сказав, что значит x. Всегда пиши: пусть x = ... с единицей измерения.
- Путать «меньше на». На 5 меньше, чем x — это x − 5, а не 5 − x.
- Проверять только по уравнению. Если уравнение составлено неверно, оно всё равно сойдётся. Проверяй по истории.
- Оставлять ответ, который не подходит к истории, например отрицательную длину или 2.5 ребёнка.