문장제란 무엇일까요?
문장제는 숫자가 나오는 짧은 이야기인데, 숫자 하나 또는 여러 개가 숨어 있어요. 우리가 할 일은 그 수를 찾는 거예요.
산수로는 수를 하나씩 넣어 보며 답을 찾을 수 있어요. 대수는 더 빠르고 안전해요. 숨은 수에 문자(예: x)를 붙이고, 다른 수처럼 계산해요. 이 문자를 미지수 또는 변수라고 불러요.
위의 3D 저울을 보세요. 미아의 연필은 x개의 파란 블록 더미예요. 왼쪽 접시에는 연필 전부가 있고, 오른쪽 접시에는 13이 있어요. 두 접시가 같으면 식이 참이에요.
대수로 푸는 네 단계
- 이름 붙이기(Name). 모르는 수가 무엇인지 정확히 써요. 예: x = 미아의 연필 수. 단위도 잊지 마세요.
- 식 세우기(Equation). 이야기를 수학으로 말해요. ~보다 많은은 +, ~보다 적은은 −, ~배나 두 배는 ×, ~이다나 합계는 대개 =를 뜻해요.
- 풀기(Solve). x가 혼자 남을 때까지 양쪽에 똑같이 해요.
- 검산하기(Check). 식에만 넣지 말고 이야기에 답을 넣어 봐요. 그런 다음 단위를 붙여 완전한 문장으로 답을 써요.
번역할 때 조심해요. x보다 5 큰 수는 x + 5이고, x보다 5 작은 수는 x − 5이며, 5보다 x 작은 수는 5 − x예요.
자주 나오는 문장제 종류
수와 나이 문제
연속하는 두 수는 x와 x + 1이에요. 연속하는 세 짝수는 x, x + 2, x + 4예요. 나이 문제에서는 n년 뒤에 모두 n살씩 늘어난다는 점을 기억해요.
이동 문제
거리 = 속력 × 시간. 두 사람이 서로 마주 보고 움직이면 속력을 더해요. 강에서 배는 내려갈 때 (배의 속력 + 강물의 속력), 올라갈 때 (배의 속력 − 강물의 속력)으로 가요.
일의 양 문제
수도꼭지 하나가 6시간에 물탱크를 채우면, 1시간에는 탱크의 1/6을 채워요. 1시간에 한 일의 양을 더해서 전체 걸리는 시간을 구해요.
백분율과 혼합 문제
부분은 전체의 몇 퍼센트예요. 부분 = (p/100) × 전체. 섞기 전 각각에 들어 있는 순수한 물질의 양을 더해서 식을 만들어요.
도형 문제
넓이 = 가로 × 세로, 둘레 = 2(가로 + 세로)를 써요. 이야기에서 한 변이 다른 변과 어떤 관계인지 알려 주는 경우가 많아요.
미지수가 둘일 때와 이차방정식
이야기에 숨은 수가 두 개일 때도 있어요. 예를 들어 펜 값과 공책 값이에요. 그러면 문자를 두 개 쓰고 식도 두 개 세워요. 더하기, 빼기, 대입으로 풀어요(연립일차방정식).
식에 x²이 나오기도 해요. 예를 들어 직사각형의 세로가 (w + 3)이고 넓이가 40이면 w(w + 3) = 40이 되고, w² + 3w − 40 = 0이 돼요. 풀면 근이 두 개 나오지만 이야기에는 하나만 맞을 수 있어요. 길이는 음수일 수 없으니 그 근은 버려요. 근마다 꼭 이야기에 넣어 확인해요.
해 보기: 집에서 만드는 저울
자와 연필로 시소를 만들고, 작은 컵 두 개와 똑같은 동전이나 콩 20개를 준비해요. 컵 하나에 콩을 몇 개 넣고 천으로 덮어 숨겨요. 그 수가 x예요. 친구에게 같은 컵을 반대쪽에 놓고, 한쪽에 콩 3개를 더 올려 달라고 해요. 먼저 예상해 보세요. 다른 쪽에 13개가 있을 때 시소가 수평이면 컵에는 콩이 몇 개 있을까요? 그다음 천을 열어 확인해요. 쓴 식도 적어 보세요.
핵심 공식과 정의
- 단계: 이름 붙이기 → 식 세우기 → 풀기 → 검산하기
- 연속하는 수: x, x + 1, x + 2
- 거리 = 속력 × 시간
- 마주 보고 갈 때: (A의 속력 + B의 속력) × 시간 = 거리
- 강: 내려갈 때 = 배 + 강물, 올라갈 때 = 배 − 강물
- 일의 양: 1시간에 한 일을 더해요. 함께 걸리는 시간 = 1 ÷ (1/a + 1/b)
- 직사각형: 넓이 = 가로 × 세로, 둘레 = 2(가로 + 세로)
풀이 예제
1. 연속하는 두 수의 합이 41이에요. 두 수를 구하세요.
작은 수를 x라고 해요. 다음 수는 x + 1이에요. 식: x + (x + 1) = 41, 그래서 2x + 1 = 41, 2x = 40, x = 20. 두 수는 20과 21이에요. 검산: 20 + 21 = 41.
2. 아버지의 나이는 아들 나이의 4배예요. 5년 뒤 두 사람의 나이의 합은 55예요. 지금 두 사람의 나이를 구하세요.
아들을 x살, 아버지를 4x살이라고 해요. 5년 뒤: (x + 5) + (4x + 5) = 55, 그래서 5x + 10 = 55, 5x = 45, x = 9. 아들은 9살, 아버지는 36살이에요. 검산: 5년 뒤 14 + 41 = 55.
3. 두 도시는 180 km 떨어져 있어요. 두 도시에서 동시에 자동차가 한 대씩 출발해 서로를 향해 50 km/h와 40 km/h로 달려요. 언제 만날까요?
시간을 t시간이라고 해요. 거리: 50t + 40t = 180, 그래서 90t = 180, t = 2. 2시간 뒤에 만나요. 검산: 100 km + 80 km = 180 km.
4. 수도꼭지 하나는 6시간에 물탱크를 채워요. 다른 수도꼭지는 3시간에 채워요. 둘이 함께 쓰면 얼마나 걸릴까요?
1시간에 두 수도꼭지는 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2만큼 채워요. 그래서 탱크 전체를 채우는 데 2시간이 걸려요.
5. 펜 3자루와 공책 2권은 70루피예요. 펜 2자루와 공책 3권은 80루피예요. 펜 한 자루와 공책 한 권의 값을 구하세요.
펜 한 자루의 값을 p, 공책 한 권의 값을 n이라고 해요. 3p + 2n = 70, 2p + 3n = 80. 첫째 식에서 둘째 식을 빼요: p − n = −10. 두 식을 더해요: 5p + 5n = 150, 그래서 p + n = 30. 그러면 n = p + 10이므로 2p + 10 = 30, p = 10, n = 20. 펜은 10루피, 공책은 20루피예요. 검산: 30 + 40 = 70, 20 + 60 = 80.
6. 직사각형의 길이가 너비보다 3 m 길어요. 넓이는 40 m²예요. 두 변의 길이를 구하세요.
너비를 w m라고 해요. 길이는 w + 3. 넓이: w(w + 3) = 40, 그래서 w² + 3w − 40 = 0. 인수분해: (w + 8)(w − 5) = 0, 그래서 w = −8 또는 w = 5. 너비는 음수일 수 없으니 w = 5 m이고 길이는 8 m예요. 검산: 5 × 8 = 40.
7. 배가 강을 따라 36 km 내려가고 다시 36 km 올라오는 데 모두 9시간이 걸려요. 강물은 3 km/h로 흘러요. 잔잔한 물에서 배의 속력을 구하세요.
배의 속력을 v km/h라고 해요. 시간 = 거리 ÷ 속력이므로 36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 9. 양변에 (v + 3)(v − 3)을 곱해요: 36(v − 3) + 36(v + 3) = 9(v² − 9), 그래서 72v = 9v² − 81, v² − 8v − 9 = 0, (v − 9)(v + 1) = 0. v = 9 (속력은 음수일 수 없어요). 검산: 36/12 + 36/6 = 3 + 6 = 9시간.
자주 하는 실수
- x가 무엇을 뜻하는지 쓰지 않고 식부터 쓰는 것. 항상 단위와 함께 'x = ...라고 하자'를 써요.
- '~보다 작은'을 헷갈리는 것. x보다 5 작은 수는 x − 5이지, 5 − x가 아니에요.
- 식에만 넣어 검산하는 것. 식을 잘못 세웠어도 식은 맞게 나와요. 이야기에 넣어 검산해요.
- 이야기에 맞지 않는 답을 그대로 두는 것. 예를 들어 음수인 길이나 2.5명 같은 사람 수예요.